Delta-normaalin VaRin laskeminen Juha Ojala 27.2.2002

Sisältö Delta-normaali arvonmääritys Delta-normaali VaR Mapping Esimerkki: bondiportfolion VaR Esimerkki: valuuttaforwardin VaR Muita sovelluskohteita

Delta-normaali arvonmääritys Oletus: Portfolion arvon muutos on lineaarikombinaatio normaalisesti jakautuneiden riskitekijöiden arvojen muutoksista Usein tarkastellaan riskitekijöiden suhteellisia muutoksia, jolloin kertoimet x ovat delta-positioita ($) Riskitekijöiden ei tarvitse olla portfoliossa olevia instrumentteja

Delta-normaali VaR x positiot riskitekijöille  riskitekijöiden kovarianssimatriisi R riskitekijöiden korrelaatiomatriisi V () – (riski)vektori

Mapping Riski- ja korrelaatiodataa ei saatavissa kaikille instrumenteille Käytetään ”primitiivisiä” tekijöitä riskin mittaamiseen valuuttakurssit nollakuponkiset joukkovelkakirjat erilaiset indeksit hyödykkeiden hinnat Ei-primitiiviset positiot puretaan delta-positioiksi x($) primitiivisille riskitekijöille

Primitiivisten tekijöiden valinta Enemmän tekijöitä  tarkkuus ja kompleksisuus kasvaa Käytetään riskitekijöitä, joilta voidaan suojautua Portfolion (arvon) sekä riskin tulisi säilyä muuttumattomina bondiportfolioille 1 – 15 eri maturiteettia, luottoluokitukset

Onnistunut johdannainen Onnistuneet futuurit kuvaavat markkinoiden käsityksiä primitiivisistä riskitekijöistä Kolme ehtoa: Allaolevalla suuret markkinat Allaolevalla suuri volatiliteetti Ei läheisiä substituutteja Kiinnostus allaolevaan. Sopimus oikein hinnoiteltu Korkea vola -> suojaustarpeet Riskiä ei voi poistaa olemassaolevilla johdannaisilla Silber (1981): 1 / 4 onnistuneita

Spesifinen riski Riski joka jää jäljelle kun yleiset markkinatekijät on huomioitu Riski = yleinen riski + spesifinen riski Esim. osakeportfolio spesifin riskin unohtaminen aliarvioi riskin enemmän riskitekijöitä ->pienenpi spesifi riski spesifin riskin määrittäminen vaikeaa

Implementointi Historiallinen data Portfolio- positiot Korrelaatiomalli Mapping Delta- arvottaminen Estimoitu kovarianssimatriisi Delta-positiot VaR

Kiinteätuottoiset portfoliot Valitaan esim. nollakuponkiset joukkovelkakirjat kuvaamaan portfolion riskiä Kun riskitekijät on valittu, miten mapping suoritetaan? Kolme tapaa: maturiteetti (principal) mapping duraatio mapping kassavirta mapping

Esimerkki: bondiportfolio V = nollakuponkisen bondin suurin mahdollinen arvonmenetys kuukaudessa 95% luottamustasolla

Maturiteetti mapping Portfolion keskimääräinen maturiteetti 3v 3-vuotisen nollakuponkibondin riski 1.484% Var = $200 * 1.484% = $2.97 Yksinkertainen menetelmä Yliarvioi riskiä

Duraatio mapping Portfolion duraatio 2.733v Valitaan riskitekijöiksi 2v bondi ($53.49) ja 3v bondi ($146.51)  duraatio 2.733v Bondien riskit 0.987% ja 1.484% VaR = $53.49 * 0.987% + $146.51 * 1.484% = $2.70 Tarkka jos 1) korrelaatiot ykkösiä ja 2) bondien riski suoraan verrannollinen duraatioon Toimii kahdella ehdolla Korrelaatiot ykkösiä Jokaisen bondin volatiliteetti suoraan verrannollinen duraatioon

Kassavirta mapping

Portfolion suhteellinen riski Kuinka hyvin portfolio x jäljittelee indeksiportfoliota x0?

Esimerkki: valuuttaforward (1) Sopimus ostaa 100 DEMiä 70.94 dollarilla S = allaolevan spot-hinta = $69.62 K = forward-hinta = $70.94 r = riskitön korkokanta = 5.8125% r* = riskitön korkokanta Saksassa = 3.9375%  = maturiteetti = 1

Esimerkki: valuuttaforward (2) Korkojen muutokset voidaan korvata joukkovelkakirjojen arvonmuutoksilla

Esimerkki: valuuttaforward (3) Riski(long forward) = Riski(long DEM spot + long DEM bill + short USD bill)

Esimerkki: valuuttaforward (4)

Hyödykeforward y = hyödykkeestä saatava tulo (convenience yield) Määrittely vaikeaa, usein erittäin volatiili  Kirjoitetaan hinta f muotoon Ft = forward-hinta hetkellä t  koron muutokset jätetään huomiotta

Muita sovellutuksia Forward-korko sopimukset Korko-swapit Osakeportfoliot ...

Kotitehtävä (1) Olet sitoutunut vuoden kuluttua ostamaan X tonnia lämmitysöljyä hintaan $10M. a) Ottamatta korkoriskiä huomioon, laske kuukauden 95% VaR. b) Kuinka paljon VaR muuttuu, kun korkoriski otetaan huomioon. Korko oletetaan korreloimattomaksi forward-hintojen kanssa Tällä hetkellä vastaavan erän forward-hinta on $9M. Valuuttariskiä ei ole.

Kotitehtävä (2)