Elliptiset jakaumat Esitys 6 kpl 3.3-3.5 28.9.2011 Tuomas Nikoskinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta.

Esitys aiheesta: "Elliptiset jakaumat Esitys 6 kpl 3.3-3.5 28.9.2011 Tuomas Nikoskinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta."— Esityksen transkriptio:

1 Elliptiset jakaumat Esitys 6 kpl 3.3-3.5 28.9.2011 Tuomas Nikoskinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2 Päivän teemat Pallosymmetriset jakaumat –Johdantona elliptisille jakaumille Elliptiset jakaumat Elliptisyyden testaaminen

3 Pallosymmetria JakaumaTasa-arvokäyriä

4 Pallosymmetria Määritelmiä 1 Satunnaisvektori pallosymmetrisesti jakautunut 1.Olemassa karakteristinen generaattori ja merkitään 2.Lineaarikombinaatiot myös pallosymmetrisiä 3.Tiheysfunktio muotoa

5 Pallosymmetria Määritelmiä 2 Jos X pallosymmetrinen, se voidaan esittää myös –S tasajakautunut yksikköympyrälle –R radiaalinen satunnaismuuttuja (säteen pituus) –R ja S riippumattomia toisistaan Oletetaan, silloin –Pohjana myöhemmin elliptisyyden numeeriselle testaamiselle

6 Pallosymmetriasta elliptisyyteen Affiinimuunnos Y u + AY

7 Pallosymmetriasta elliptisyyteen

8 Elliptiset jakaumat Formaalisti elliptisesti jakautunut, jos Karakteristinen funktio merkintä tapa

9 Elliptiset jakaumat Muistetaan, jolloin (1) –S tasajakautunut yksikköympyrälle –R radiaalinen satunnaismuuttuja Ratkaisemalla yhtälöstä (1) –Elliptisyyden testaaminen pallosymmetrian avulla –Yleinen tiheysfunktion muoto elliptiselle

10 Elliptiset jakaumat Elliptiselle : Pallosymmetrisesti jakautuneen tiheysfunktio muotoa Yleinen muoto elliptisen jakauman tiheysfunktiolle

11 Data elliptistä? Onko havaittu data X elliptistä? –Tarvitaan estimaattorit, ja –Testataan

12 Elliptiset jakaumat Parametrien estimointi: M-estimaattorit Yksinkertainen iteratiivinen prosessi, tuloksena robustit estimaattorit ja Jokaiselle havainnolle Xi lasketaan suure Estimaattoreiden päivitys painotettuna otoskeskiarvona ja kovarianssimatriisina –Painot ja pienentävät suuren arvon saaneiden havaintojen merkitystä

13 Elliptiset jakaumat Parametrien estimointi: Kendall’s tau Keino estimoida korrelaatio kahden satunnaismuuttujan välille –Tämä muoto elliptisesti jakautuneille – teoreettinen korrelaatio, joka voidaan laskea standardi estimaattorilla (kirja 5.50) Muunnetaan kovarianssimatriisiksi esim.

14 Elliptiset jakaumat Estimaattoreiden robustisuus - esimerkki Elliptisestä 2 muuttujan t-jakaumasta estimoitu korrelaatiota, (kirja ex. 3.31)

15 Elliptisyyden testaaminen Onko data kun on estimoitu ja 3 lähestymistapaa 1.Vakio korrelaatio 2.Kvantiili-Kvantiili tarkastelu 3.Numeerinen testaus

16 Estimoidaan korrelaatio annettuna ellipsi Jos data elliptistä, korrelaation tulisi pysyä vakiona c arvoa kasvatettaessa ”Elliptiset tasa-arvokäyrät samanmuotoiset, vain skaala muuttuu” Tulokset tulkitaan graafisesti piirtämällä korrelaatioestimaatti määrätyn ellipsin ulkopuolelle jääneiden pisteiden funktiona Elliptisyyden testaaminen Vakio korrelaatio

17 Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä Toteutetaan vertaamalla testisuureen T(Y) ja Y:n kvantiili-kvantiili kuvaajaa (QQplot) Kun, voidaan T(Y) valita esim s.e. Tästä helppo laskea teoreettiset kvantiilit ja verrata niitä empiiriisiin datasta laskeuttuihin Elliptisyyden testaaminen Kvantiili-Kvantiili

18 Elliptisyyden testaaminen Numeerinen testaus Ideana testata Y:n pallosymmetrisyyttä Merkitään ja ja selvitetään 1.Onko S tasajakautunut yksikköympyrälle? Kolmogorov-Smirnov test 2.Ovat R ja S riippumattomia? Spearman’s rank correlation coefficient Jos vastaus yllä oleviin kysymyksiin 1 ja 2 on kyllä, data on elliptisesti jakautunut

19 Kotitehtävä Onko havaittu data elliptisesti jakautunut? Generoi elliptisesti jakautunut 2 ulotteinen datajoukko X –(esim. t-jakaumasta, ks. ?rmt) Estimoi ja (tyyli vapaa) Ota X:stä muunnos Y (ks. kalvo 18) Testaa X:n elliptisyys (siis Y:n pallosymmetrisyys) numeerisesti –Kalvon 18:n testi Raportoi käyttämäsi koodi ja sopivat kuvaajat HUOM! R:ssä matriisi potenssi hankala, lataa paketti ”expm”, jolle: %^% ottaa matriisi potenssin