Volatiliteetin mallintaminen sähkömarkkinoilla

Esitys aiheesta: "Volatiliteetin mallintaminen sähkömarkkinoilla"— Esityksen transkriptio:

1 Volatiliteetin mallintaminen sähkömarkkinoilla
Ari Maarni

2 Sisältö Volatiliteetin määrittäminen Spot-hinta mallin ominaisuuksia
Historiallinen, markkinoihin sisältyvä ja malleihin sisältyvä volatiliteetti Volatiliteettimatriisin esittely

3 Volatiliteetin määrittäminen
Stokastisuus selittää hintaprosessissa ilmenevää satunnaista käyttäytymistä Volatiliteetti kertoo satunnaisuuden suuruuden Mitä suurempi volatiliteetti sitä leveämpi tuottojakauma Option arvo on sitä korkeampi, mitä suurempi osakkeen hinnan volatiliteetti

4 Volatiliteetin määrittäminen
Oletetaan aikasarja spot-hinnoista ja vastaava sarja niiden tuotoista Keskihajonta ja varianssi tuottojakaumalle Molemmat ovat riippuvaisia aikajaksosta, jolta niiden havainnot ovat Kahden jakauman vertaaminen toisiinsa ei ole merkityksellistä ellei havaintojen kokonaisaikajakso ole jakaumissa yhtä pitkä Jos oletetaan että meillä on aikasarja spothintoja ja vastaava aikasarja niiden tuottoja, joita analysoidaan. Nyt keskihajonta mittaa tuotto- jakauman leveyttä. Keskihajonta on riippuvainen aikajaksosta jolta tuotot on laskettu. Jos siis käytetään keskihajontaa eri jakaumien vertailuun on se merkityksetöntä ellei olla varmoja siitä, että jakaumat ovat peräisn samanmittaiselta aikajaksolta.

5 Volatiliteetin määrittäminen
Tuottojakauman volatiliteetti saadaan normeeraamalla keskihajonta (STD) vuosittaisella ajalla Erittäin intuitiivinen mittari hinnan satunnaisuuden tarkastelulle Kertoo karkeasti millä välillä hinnan voi olettaa olevan 66% ajasta Siis sen sijaan että vahingossa vertailee appelsiineja omenoihin vertailemalla keskihajontoja, pyritään volatiliteetilla varmistamaan se, että todellakin verrataan omenoita omenoihin.

6 Volatiliteetin määrittäminen
Hintaprosessin volatiliteetti mittaa vuosittaista jakauman leveyttä nimenomaan tuotoille Keskihajonta voi mitata mitä tahansa jakaumaa Tuoton varianssin normeeraaminen volatiliteetiksi mahdollistaa eri markkinoiden ja mallien vertailun yhdenmukaiselle tavalla Säästytään potenttiaaliselta virheeltä verrata omenoita appelsiineihin

7 Spot-hinta mallit Tyypillisesti spot-hinta mallit olettavat, että tuotoilla on normaalijakautunut komponentti Log-normaalimalli (Ito-prosessi) olettaa volatiliteetin vakioksi ja tuottojen logaritmit norm.jakautuneiksi

8 Spot-hinta mallit Antamalla ajan hinta havaintojen välillä mennä erittäin pieneksi saadaan approksimaatio volatiliteetille On hyvä aproksimaatio volatiliteetille, koska muut mallit antavat samankaltaisia tuloksia vaikka ne olettavat eri poikkeamatermin Osoittaa että stokastinen termi on mallissa merkitsevin termi.

9 Spot-hinta mallit Stokastisen termin odotusarvo on 0, koska satunnaisen muuttujan dz odotusarvo on 0 Stokastisen termin neliön odotusarvo on Tuottojen keskihajonta on verrannollinen sekä volatiliteettiin että ajan neliöjuureen mittausten välillä Mitä pitempi on aika mittausten välillä, sitä suurempi on tuottojen keskihajonta

10 Historialliset volatiliteetit
Antaa keskimäär. volatiliteetin mittausperiodilta Voidaan laskea spot- tai forward-hintojen historiallisesta datasta Estimaatti datapaketille, missä tuottomittauksia N kpl: Historiallisesta datasta voidaan aikasarja-analyysin avulla ennustaa volatiliteetin aikarakenteen käyttäytymistä Tärkeitä markkinoilla, jossa epälikviidejä optioita, joille markkinoiden sisältämän volan laskeminen mahdotonta

11 Markkinoiden/yksittäisten optioiden sisältämät volatiliteetit
Jos tiedetään option hinta voidaan ”katsoa” taaksepäin ja etsiä volatiliteetti, jolla hinta on saatu Kaupattujen optioiden hinnat kertovat markkinoiden odotuksista optioiden volatiliteettien suhteen Edustaa keskimääräistä volatiliteettia option hinnassa tästä päivästä sen päättymispäivään Helpoin tapa etsiä yksittäisten optioiden volat on käyttää apuna hinnoittelumallia esim. B-S Saadaan mallin viittaama volatiliteetti

12 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit
Sarjalla optioita, joilla on sama asetteluhinta, mutta kasvavat päättymispäivät, meillä on tarpeeksi tietoa selvittää taustalla oleva volatiliteettirakenne, joka specifinen tällä hinnalle Jos meillä on esim. kaksi Eurooppalaista optiota (1kk,2kk) perustuen samaan kahden kk:n forward-hintaan, voidaan forward-hintojen volatiliteetin aikarakennetta laskea ”peruuttaen” kahdelle kk:lle Yhden kk:n option hinta kertoo forward-hinnan volan ensimmäisen kk:n ajalta:

13 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit
Kahden kk:n option vola on keskiarvo samasta forward-hinnasta, mutta yli ekan ja tokan kk:n, saadaan siis ekan ja tokan kuun keskiarvona: Nyt saadaan laskettua taaksepäin toisen kuukauden forward-hinnan vola:

14 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit:caps ja floors
Cap tai floor on sarja optioita, jotka on hinnoiteltu yhtenä kokonaisuutena Cap on sarja osto-optioita ja Floor sarja myyntioptioita Juoksu (Tenor) ilmoittaa yksittäisten optioiden (Caplets) päättymistaajuuden eli esim. vuoden cap:ssa, jonka juoksu on kuukausi, on 12:sta peräkkäistä optiota sarjassa ja ne päättyvät 1 kk:n välein Nyt volatiliteetin aikarakenteen laskeminen ”peruuttamalla” vaikeutuu huomattavasti varsinkin yksittäisille optioille

15 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit:caps,floors
Miksi ei riitä laskea Cap ja Floor kohtaiset volat? Olisi oikein jos volatiliteetti olisi vakio, mutta varsinkin energiamarkkinoilla erittäin vahva volatiliteettirakenne Hinnoittelun lisäksi vaikutus ulottuisi myös suojautimiseen Mahdollistaisi arbritraasin esim. ”peruutetaan” 1-vuoden Cap 1 kk:n tenor, 25% vola ja 2 vuoden Cap 1 kk:n tenor,15% vola

16 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit:caps,floors
Cap:it ja Floor:it hinnoiteltava samalla Caplet volatiliteettikäyrällä Caplettien volat estimoitava siten, että eri Cap:ien markkinahinnat pysyvät ennallaan

17 Caps and Floors Hinta Cap suojaa kuluttajan hinnan nousuilta, mutta mahdolistaa silti hintojen laskun hyödyntämisen Hinta Floor suojaa valmistajan hinnan laskuilta, mutta mahdolistaa silti hintojen nousun hyödyntämisen

18 Optiosarjojen sisältämät volatiliteetit
Lisähaastetta tulee kun optiot hinnoitelleen diskreettien hintojen sijaan hintojen keskiarvolla Harrastetaan melkoisesti OTC:n energiamarkkinoilla Volatiliteetti hymy Kun yhtä pitkien ja samaan asettelu hintaan perustuvien optioiden toteutumishintoja viedään kauemmaksi out-of-the-money:sta, kasvaa optioiden volatiliteetti Todellisuudessa ei toteutushinta rakenteen volatiliteetin tarvitse olla hymy, koska todellinen hintajakauma saattaa olla jotain muuta kuin lognormaalinen

19 Mallien sisältämät volatiliteetit
Eri hinnoittelumallit sisältävät eri oletuksia ja antavat täten erilaisia volatiliteettien käyttäytymisrakenteita ja korrelaatiomatriiseja Spot- ja forward-hintojen käyttäytymismalleilla voidaan estimoida niiden sisältämät volatiliteetit ja korrelaatiot Kalibroidaan historiallisen datan avulla mallin parametrit ja lasketaan mallin sisältämät volatiliteetit ja korrelaatiot Käytetään lähinnä epälikviideillä markkinoilla mahdollisen markkinainformaation tukena Mahdollistaa siis hinnoittelu- ja suojautumislaskennat epälikviideille optioille

20 Yhden tekijän log-normaali malli
Sama volatiliteetti kuin B-S-malli sisältää eli vola oletetaan vakioksi kokoajan, täten spot-hintojen vola ja forward-hintojen vola on sama koko forward-hintakäyrällä: Olettaa myös että forward-hinnat korreloivat täydellisesti sekä spot-hintojen että toistensa kanssa: energiamarkkinoilla vahvasti heikkenevät volatiliteetirakenteet ja epätäydelliset korrelaatiot, täten log-normaali malli ei konsistentti todellisuuden kanssa

21 Yhden tekijän keskiarvon palauttava malli
Keskiarvon palautus vaikuttaa volatiliteetin aikarakenteeseen antamalla sille laskevan efektin ajan edetessä, tyypillistä energiamarkkinoille Myös spot-hintojen volatiliteettiin sillä on vaimentava vaikutus, kuitenkin vakio Mitä pitemmällä ajassa edetään, sitä enemmän tämä efekti korostuu verrattuna lognormaaliin malliin Forward-hintojen volatiliteetti lähestyy nollaa, kun forward:n päättymispäivän T annetaan kasvaa äärettömyyteen Korrelaatiot pysyvät täydellisinä

22 Kahden tekijän hinnan keskiarvon palauttava malli
Forward-hintojen volatiliteetit ja korrelaatiot ovat forward-hinnan päättymispäivän funktioita ja ne seuraavat keskiarvon palauttavaa prosessia tasapainohinnan volatiliteettiin Spot-hinnan volatiliteetti jää edelleen vakioksi yli ajan forward-hinnan volatiliteetin määrittelee spot-hinnan vola sekä pitkän ajan tasapainohinnan volatiliteetti Toinen tekijä mallissa on tarpeellinen, koska se huomioi epätäydelliset korrelaatiot spot- ja forward-hintojen välillä forward-hintojen eri päättymisaikojen välillä

23 Kahden tekijän hinnan keskiarvon palauttava malli
Käytännöllinen seuraamus kahden tekijän mallista jokaisella forward-hinnalla käyrässä päätyy olemaan oma volatiliteetti rakenne Johtaa meidät tarkastelemaan volatiliteettia kaksi dimensioisesti - yli ajan ja forward-hinnan Siirrymme siis kaksi-dimensionaalisiin volatiliteettimatriiseihin

24 Volatiliteettimatriisi
Kasaa kaiken intuition ja tekniikat, joita esitelty edellä Jos markkina on kahden tai useamman tekijän vetämä käytetään volatiliteetin matriisirakenneta Matriisi tarjoaa pienimmät tarvittavat volatiliteettinimittäjät, joita yhdistelemällä voidaan hinnoitella eri tyyppisiä optioita Jokainen solu esittää tietyn lyhyen aikajakson volatiliteettia, kuvaten täten forward-hintojen volatiliteettia eri päättymispäivinä ja eri aikoina

25 Volatiliteettimatriisi
Kaksi dimensiota: aika alkaen tänään ja forward-hinta alkaen spot-hinnasta Rakennamme matriisin matriisin, missä (pystyakselilla aika) viittaa volaan hetkellä ndt alkaen tästä päivästä, forward- hinnalle, jonka päättymisaika on mdt suhteessa ndt:hen Saman forward-hinnan volan aikarakenne forward-hintakäyrältä lyötyy yhdestä kuvan sarakkeesta

26 Yhteenveto Volatiliteetti estää meitä vertailemesta erehdyksissä omenoita appelsiineihin Volatiliteetti voi olla erittäin volatiilia energiamarkkinoilla Historiallisesta datasta voidaan aikasarja-analyysin avulla ennustaa volatiliteetin aikarakenteen käyttäytymistä Markkinoiden sisältämä volatiliteetti kertoo tulevaisuudesta

27 Yhteenveto Mallien tekemät oletukset spot-hintojen käyttäytymisestä vaikuttavat forward-hintojen käyttäytymiseen ja tätä kautta volatiliteetin aikarakenteeseen korrelaatiomatriisiin Jotta sähkömarkkinoilla pystytään kokonaisvaltaiseen arvottamiseen ja riskienhallintaan täytyy hyödyntää kaikkia edellämainittuja menetelmiä yhdessä Muodostetaan diskreetti volatiliteettimatriisi!

28 Kotitehtävä Sinulla on sarja eurooppalaisia osto-optioita (1,2 ja 3 kk:n päästä päättyvät optiot), jotka kaikki perustuvat samaan kolmen kuukauden forward-hintaan. Laske tälle hinnalle ominainen forward-hintojen diskreetti volatiliteettirakenne kolmelle ensimmäiselle kuukaudelle eli laske Optioiden volat: Peruutus rules! Palautus: