S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 1 Sähköoptioiden hinnoittelu.

Esitys aiheesta: "S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 1 Sähköoptioiden hinnoittelu."— Esityksen transkriptio:

1 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 1 Sähköoptioiden hinnoittelu Timo Viitasalo 27. 3. 2002 D. Pilipovich, Energy Risk, Chapter 8: Option Valuation

2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 2 Sisältö Yleistä optioiden hinnoittelusta –Tarkat menetelmät Black-Scholes malli Black malli –Virheenkorjausmenetelmät Edgeworthin sarjakehitelmä –Approksimatiiviset menetelmät Hilat Soveltaminen sähköoptioiden hinnoitteluun

3 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 3 Optioiden hinnoittelumalleja

4 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 4 Suljetun muodon ratkaisut Ratkotaan option hintaprosessia kuvaavaa differentiaaliyhtälöä Ratkaisuna saadaan kaava jota option hinta noudattaa Helppoja käyttää jos ratkaisu on olemassa Yhtälöiden ratkaiseminen edellyttää lähes aina yksinkertaistavien oletusten tekemistä –volatiliteetti pysyy vakiona –kohteen markkinahinta log-normaalinen

5 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 5 Black-Scholesin malli Tunnetuin ja käytetyin optionhinnoittelumalli Perustaksi oletetaan kohteen spot-hinta option päättyessä Perustan hintaprosessi oletetaan log-normaaliseksi Lisäksi oletetaan että option riski voidaan täydellisesti kompensoida spot hinnan avulla, eli voidaan muodostaa kohteesta portfolio joka käyttäytyy täsmälleen samalla tavalla kuin hinnoiteltava optio (The Black-Scholes Model)

6 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 6 Black-Scholesin malli Black-Scholesin yhtälö missä: –f(S,t) option hinta hetkellä t –S kohteen spot hinta –r riskitön korko –  kohteen spot hinnan volatiliteetti Ratkaisu olemassa vain erikoistapauksissa

7 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 7 Black-Scholesin yhtälö Black-Scholesin yhtälö voidaan ratkaista eurooppalaiselle osto-optiolle C BS on option hinta hetkellä t T on option päättymishetki

8 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 8 Blackin malli B-S malli oletti perustaksi kohteen spot hinnan, Blackin malli ottaa perustaksi kohteen termiini (forward) hinnan F Rahoituskustannus poistuu mallista (The Black Model)

9 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 9 Edgeworthin sarjakehitelmä Black-Scholesin mallissa tehtiin useita oletuksia jotka eivät käytännössä toteudu (mm. log- normaalisuus) Edgeworthin idea: Käytetään B-S:n mallia, mutta käytetään modifioitua volatiliteettia ja otetaan mukaan korkeampien derivaattojen vaikutukset Approksimoidaan kohteen hintajakaumaa sopivasti painotetulla log-normaalijakauman Taylorin polynomilla (The Edgeworth Series Expansion)

10 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 10 Edgeworthin sarjakehitelmä Esimerkkinä Eurooppalainen osto-optio missä C BS tavallisen B-S kaavan tulos laskettuna modifioidulla volatiliteetilla  on diskonttauskerroin,  ja  2 otoskeskiarvo ja -varianssi, a() approksimoiva jakauma, S kohteen spot hinta ja K option toteutushinta Muissa optiotyypeissä vain ensimmäinen termi muuttuu, korjaustermit pysyvät samanmuotoisina

11 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 11 Hilamallit Mallinnetaan perustan hintaprosessi hilana (puuna); Option hinta kussakin solmussa saadaan laskettua helposti käymällä hila läpi lopusta alkuun Hyvin helppoja laskea Pystytään mallintamaan volatiliteetin muutokset Amerikkalaisten optioiden hinnoittelu mahdollista Polkuriippuvaisten (Aasialaisten) optioiden hinnoittelu mahdotonta (tai hyvin hankalaa) F uuu F0F0 FuFu FdFd F uu F0F0 F dd FuFu FdFd F ddd pdpd pupu pupu pupu pupu pupu pupu pdpd pdpd pdpd pdpd pdpd (The Tree Approach)

12 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 12 Hilamallit Binomihilassa ylöspäin liikkumisen tn. ja alaspäin 1-p Ylöspäin liikuttaessa ja vastaavasti alaspäin Myös monimutkaisemmat hilat mahdollisia (trinomihila) Volatiliteetin aikariippuvuus: F0F0 FuFu FdFd F uu F0F0 F dd FuFu FdFd F ddd pdpd pupu pupu pupu pupu pupu pupu pdpd pdpd pdpd pdpd pdpd F uuu

13 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 13 Soveltaminen sähköoptioiden hinnoitteluun

14 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 14 Hintakatto-optio Optio joka oikeuttaa ostamaan haluttuina päivinä sähköä toimitettavaksi seuraavana päivänä ennalta sovittuun hintaan Sama kuin monta eurooppalaista osto-optiota jotka erääntyvät kuukauden jokaiselle eri päivälle Helpointa hinnoitella hilamalleilla, mutta volatiliteetin muutokset pitää ottaa huomioon (European Options or Caps on Discrete Price Settlement)

15 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 15 Polkuriippuvat hintakatto-optiot Muuten samanlainen kuin edellä, mutta nyt toteutushintana on option kohteen hinnan keskiarvo option voimassaoloaikana Hinnoittelu onnistuu käyttäen Edgeworthin sarjakehitelmää Nyt Black-Scholesin mallissa modifioiduksi volatiliteetiksi saadaan (European-Style Caps/Floors on Averages of Prices)

16 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 16 Halvimman toimitustavan optio Sähköyhtiöllä on mahdollisuus valita tuottaako toimitettavan sähkön itse vai ostaako markkinoilta Hinta jolla sähköyhtiön kannattaa tehdä tulevia termiinisopimuksia riippuu oman tuotannon hinnasta (esim. öljyn hinnan vaihtelut) ja sähkön markkinahinnasta (Optionality in Cheapest-to-Deliver Forward Prices)

17 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 17 Halvimman toimitustavan optio Termiini voidaan hinnoitella seuraavasti: F 1 oman tuotannon termiini hinta F 2 markkinasähkön termiini hinta  i vastaavat volatiliteetit  oman tuotantohinnan ja markkinahinnan välinen korrelaatio  () N(0,1) normaalijakauman piste

18 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 18 Hintaporras optiot Edellä kaikkien optioiden perustana oli jonkin yksittäisen kohteen hinta Hintaporras optioissa perustana on kahden hyödykkeen hintojen välinen ero P=P 1 -P 2 Esimerkiksi öljynjalostamo voi suojata tuottonsa optiolla joka perustuu raakaöljyn ja lämmitysöljyn väliselle hintaerolle Hinta voidaan määrittää Edgeworthin sarjakehitelmällä, mutta… (Crack-Spread and Basis-Spread Options)

19 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 19 Hintaporras optiot Option perustan hinta voi olla negatiivinen (ristiriita log-normaalisuus oletuksen kanssa) Ongelma kierretään asettamalla perustaksi P=P 1 -P 2 +V, missä V on riittävän suuri vakio Tällöin modifioitu volatiliteetti voidaan laskea seuraavasti

20 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 20 Yhteenveto Erilaisten optioiden laskemiseksi on useita malleja Ilman yksinkertaistavia oletuksia kaavoja on hyvin vaikea johtaa tai ratkaista Oletusten vaikutukset voidaan kompensoida korjaustermien avulla Eksplisiittiset kaavat ovat helppoja käyttää kun ne on saatu johdettua (eivät vaadi suurta laskentakapasiteettia) Sähköoptioilla monet hinnoittelumallien perusoletuksista eivät toteudu riittävällä tarkkuudella

21 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 21 - Timo Viitasalo Optimointiopin seminaari - Kevät 2002 / 21 Kotitehtävä Eräs optio oikeuttaa ostamaan sähköä kolmen kuukauden kuluttua hintaan 15 EUR/kWh. Tällä hetkellä sähkön hinta on 18,81EUR/kWh. Hinnan muutosten logaritmien keskihajonnaksi on estimoitu edellisen kuukauden hinnoista 0,9. Riskitön korko on tällä hetkellä 3,5%. Mikä on tämän option hinta laskettuna Black-Scholesin kaavalla? Onko näin saatu hintaestimaatti tarkka tälle optiolle?