Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE11XX SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA (LISÄOSA) 4.AALTOYHTÄLÖT

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv2 / 11 Maxwellin yhtälöt lähteettömässä yksinkertaisessa ei-johtavassa väliaineessa  Lähteetön ->  = 0 ja J S = 0  Yksinkertainen -> lineaarinen, isotrooppinen ja homogeeninen  Ei-johtava ->  = 0  Ominaisuuksia kuvataan permittiivisyyden  ja permeabiliteetin avulla  Faradayn laki(1a) Ampèren laki(1b) Gaussin laki(1c) Magn. kenttä lähteetön(1d)

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv3 / 11 Maxwellin yhtälöt lähteettömässä yksinkertaisessa ei-johtavassa väliaineessa Yhtälöt ovat kahden muuttujan (E, H) ensimmäisen asteen diff. yhtälöitä -> voidaan yhdistää joko E:n tai H:n toisen asteen diff. yhtälöksi. Otetaan roottori yhtälön (1a) molemmilta puolilta: Huomioidaan yhtälön (1b) sisältämä tieto: Vektorimatematiikassa on todistettu, että

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv4 / 11 Homogeeniset vektoriaaltoyhtälöt Koska kysymyksessä on lähteetön alue (1c) Saa yhtälö muodon Kun otetaan huomioon, että nopeudelle on voimassa yhtälö Vastaavasti:

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv5 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Sinimuotoinen suure esitetään kolmen eri muuttuja avulla Esim. RLC-sarjakytkentäpiirissä kulkeva virta ? Vaikeahko ratkaista matemaattisesti.  suuruus tai huippuarvo (amplitudi),  taajuus ja  vaihekulma

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv6 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Siirrytään käyttämään eksponentiaalimuotoa jännitteestä ja virrasta missä Nyt:

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv7 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Tällöin ratkaistava yhtälö saadaan muotoon Palaaminen aikatasoon tapahtuu kertomalla ratkaisu î sk e j  t :llä ja ottamalla kompleksiluvusta reaaliosa. Jos jännite on annettu muodossa e (t ) = ê sin  t, ratkaisu etenee muuten samoin, mutta siirryttäessä aikatasosta taajuustasoon otetaan imaginaariosa kompleksiluvusta e j  t.

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv8 / 11 Aikaharmoniset sähkömagneettiset kentät Kenttävektorit, joiden suuruus riippuu paikkakoordinaatista ja jotka ovat sinimuotoisesti ajasta riippuvaisia, voidaan esittää vektoriosoittimina, joiden suuruus on paikasta riippuvainen, mutta ei ajasta Esimerkiksi cos-funktiota noudattava aikaharmoninen sähkökenttä E Tällöin:

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv9 / 11 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Näin ollen aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt voidaan esittää yksinkertaiselle väliaineelle kenttävektoriosoittimien (E, H ) ja lähdeosoittimien ( , J ) avulla: Faradayn laki(2a) Ampèren laki(2b) Gaussin laki(2c) Magn. kenttä lähteetön(2d)

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv10 / 11 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt lähteettömässä ei- johtavassa väliaineessa Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt lähteettömässä (  = 0 ja J =0 ) ei- johtavassa  = 0  väliaineessa: Faradayn laki(3a) Ampèren laki(3b) Gaussin laki(3c) Magn. kenttä lähteetön(3d)

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE.11XX.04 / mv11 / 11 Homogeeniset Helmholzin vektoriaaltoyhtälöt Merkitään: