5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Pisteen (x0, y0. z0) kautta kulkevan ja vektoria vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö on a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori E.2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria vastaan. Määritä tason yhtälö. TAPA 2 Tason yhtälö muotoa 4x – 3y + 2z + d = 0 Tason piste (5, -1, -4): 4  5 – 3  (-1) + 2  (-4) + d = 0 d = -15 4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0 4x – 20 – 3y – 3 + 2z + 8 = 0 4x – 3y + 2x – 15 = 0

5.2 Suoran asema tasoon nähden Katso kuva s. 127 E.1. Osoita, että suora on tasossa 3x – 2y + z – 8 = 0 Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2t, 1 + t) tason yhtälöön: 3(3 + t) – 2(1 + 2t) + (1 + t) – 8 = 0 9 + 3t – 2 – 4t + 1 + t – 8 = 0 0 = 0 tosi kaikilla parametrin t arvoilla. Täten suora on tasossa.

E.2. Osoita, että suora on yhdensuuntainen tason 2x – y + z + 1 = 0 kanssa, mutta ei ole tämän tason suora. Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan. Suoran suuntavektori: Tason normaalivektori:  suora on tason suuntainen Suoran pisteessä (0, 2, 2) : 2  0 – 2 + 2 + 1 = 1 ≠ 0, joten suora ei ole tasossa.

E.3. Määritä suoran ja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste. Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön: x + y – z – 4 = 0 1 – t + 2 – t + 3 + t – 4 = 0 -t + 2 = 0 t = 2 x = 1 – 2 = -1 y = 2 – 2 = 0 z = 3 + 2 = 5 Leikkauspiste: (-1, 0, 5)

5.3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131) E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet. a) 2x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2z + 2 = 0 Normaalivektorit: ovat erisuuntaisia, koska Tasot leikkaavat pitkin suoraa Merkitään z = t Tasojen leikkaussuoran yhtälö 3x = 3z - 3 Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin suuntainen x = z - 1 y = -2x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1 = -z + 1

b) x – 2y – z + 2 = 0 ja – 2x + 4y + 2z + 5 = 0 T1: x – 2y – z + 2 = 0 T2: – 2x + 4y + 2z + 3 = 0 Koska niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset Piste (0, 1, 0) tasossa T1, mutta ei tasossa T2, sillä -2x + 4y + 2z + 3 = -2  0 + 4  1 + 2  0 + 5 = 9 ≠ 0. Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

c) –x + 3y + z – 2 = 0 ja 3x – 9y – 3z + 6 = 0 Jaetaan tason 3x – 9y – 3z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan -x + 3y +z - 2 = 0 Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset Siis on olemassa luku t siten, että Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön: 2 = -½  (-4) 2 = 2 tosi, siis toteuttaa Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat b) toistensa normaalitasot Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

Tasojen välinen kulma = tasojen normaalien välinen kulma E.4. Laske tasojen 2x – y – 2z + 6 = 0 ja x + 2y – 2z – 8 = 0 välinen kulma

Kolmen tason keskinäinen asema

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet a) 2x – 3y – z – 4 = 0, 3x + 4y + z – 5 = 0 ja 4x + 5y – 2z + 3 = 0  1 V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste (2, -1, 3)  2  1 5x + y - 9 = 0 10x +13y -7 = 0 x sijoittamalla: 10x + 13  (-1) – 7 = 0 10x = 20 x = 2 z sijoittamalla: 3  2 + 4  (-1) + z – 5 = 0 z = 3  (-2) 11y + 11 = 0 y = -1

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet b) x + y + z – 1=0 , -2x + y -2z + 2 = 0 ja 4x + y +4z = 0  2  1  2  1 3y - 1 = 0 3y + 4 = 0 V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet c) 2x + y + z – 1 = 0, -2x + y - 2z + 2 = 0 ja 2x - 3y + 3z - 3 = 0 2y - z + 1 = 0 -2y + z – 1 = 0 Tasojen yhteiset pisteet muodostavat suoran kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta ja on vektorin Sijoittamalla z = 2y + 1 yhtälöön: 2x + y + (2y + 1) – 1 = 0 2x + 3y = 0 suuntainen