Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.

Esitys aiheesta: "Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa."— Esityksen transkriptio:

1 Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa

2 Funktion f(x) määrittelyjoukko
Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:n arvoja mitä funktiolla voidaan antaa Esim.

3 Rationaalifunktion määrittelyjoukko

4 Supistaminen

5 Murtolausekkeen supistaminen

6 Toisen asteen funktion tekijöihin jako nollakohtien perusteella
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), missä x1 ja x2 ovat funktion nollakohtia.

7 Muistikaavat

8 Rationaalilausekkeen sieventäminen
Lavennetaan samannimisiksi samalla tavalla kuin murtoluvutkin

9 Funktion raja-arvo

10 Esim.

11 Kuva tilanteesta y=b x=a

12 Funktion raja-arvon määrittely

13 Esim.

14 Esim.

15 Raja-arvon olemassaolo
Raja-arvoa ei ole olemassa, jos ns. toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuria

16 Funktion jatkuvuus

17 Miltä kuvaaja näyttää? JATKUVA EI JATKUVA PISTEESSÄ X=3

18 Polynomifunktio on kaikkialla jatkuva

19 Rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan

20 Bolzanon lause

21 Esim.

22 Esim.

23 Kasvunopeus

24 Esim. Kasvin kasvunopeus
Piirrä tangentti kohtaan x=70. Tangentin kulmakerroin ilmoittaa kasvunopeuden

25 Funktion derivaatta Tangentin kulmakerroin on funktion f derivaatta kohdassa a. Sitä merkitään f’(a).

26 Aina derivaattaa ei ole

27 Esim. Päättele derivaatat kuvasta

28 Erotusosamäärä

29 Derivaatan määritelmä

30 Esim.

31 Derivaattafunktio T ollaan laskettu, että vakiofunktion f(x)=c derivaatta f’(x)=0. Miksi? Kuvaaja vaakasuora suora, jonka kulmakerroin aina nolla T. 118 ollaan laskettu, että funktion f(x)=kx derivaatta f’(x)=k. Miksi? Kuvaajana aina suora, jonka kulmakerroin eli myös tangentin kulmakerroin aina k. Mikä olisi funktion f(x)=x2 derivaattafunktio? Laske derivaatta kohdassa a.

32 Esim.

33 Derivaatan laskusääntöjä

34 Esim.

35 Esim.

36 Tangentin yhtälö Laske f’(x0), joka on tangentin kulmakerroin k eli
k = f’(x0) Suoran yhtälö y – y0 = k(x – x0) eli tangentin yhtälö y – y0 = f’(x0)(x – x0) (x0, y0)

37 Normaalin yhtälö Normaali on kohtisuorassa tangenttia vastaan eli kulmakertoimien tulo on -1. k1k2 = -1 k1 = f’(1)

38 Esim.

39 Esim.

40 Derivoituvan funktion kasvaminen
Funktio on aidosti kasvava, kun f ’ (x) > 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

41 Derivoituvan funktion väheneminen
Funktio on aidosti vähenevä, kun f ’ (x) < 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

42 Esim.

43 Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot

44 Funktion ääriarvokohdat ja ääriarvot

45 Esim.

46 Funktion suurin ja pienin arvo suljetulla välillä [a,b]
Löytyvät derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä

47 Yleisohjeet

48 Esim.

49 Sovelluksia

50 Sovelluksia

51 Tulon derivaatta

52 Potenssin derivaatta

53 Osamäärän derivaatta

54 Rationaaliyhtälö ja rationaaliyhtälön merkki
Esim. funktio (x+2):(x-3) Milloin funktio on määritelty? Kun x on erisuuri kuin 3 Mitkä ovat funktion nollakohdat? Kun x+2 = 0 eli x= -2 Milloin funktion merkki voi vaihtua? Ainoastaan funktion nollakohdissa tai kohdissa, joissa funktiota ei ole määritelty

55 Rationaaliepäyhtälön ratkaisu
Esim. 135 Älä kerro lausekkeelle x-3, koska se saa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja Siirrä kaikki termit samalle puolelle ja lavenna samannimisiksi Tee merkkikaavio, johon tulee syntyvän funktion nollakohdat ja kohdat, joissa funktiota ei ole määritelty Laske merkit laskimella

56 Sovelluksia Suunnittele suoran ympyrälieriön muotoinen tölkki, jonka pinta-ala on mahdollisimman pieni ja tilavuus 1 litra