Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen

Esitys aiheesta: "Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen"— Esityksen transkriptio:

1 Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen
Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan oppimisesta

2 Derivaatta MA 08 Sekantti
Tangentin kulmakerroin on derivaatta kohdassa a.

3 Vaihtoehtoinen tapa derivaatan määritelmään

4 Esim.

5 Esim. Missä kohdissa funktio ei ole derivoituva?
Missä kohdissa funktio ei ole jatkuva? Mikä on funktion derivaatta muissa kohdissa?

6 Derivoimissääntöjä kurssilta 7

7 Derivaatta ja monotonisuus
Funktio on kasvava, kun f ’ (x) > 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

8 Derivaatta ja monotonisuus
Funktio on vähenevä, kun f ’ (x) < 0. f ’ (x) voi olla nolla yksittäisissä pisteissä. Ns. terassikohdat

9 Funktion suurin ja pienin arvo
Funktio saa pienimmän ja suurimman arvonsa suljetulla välillä [a,b] joko derivaatan nollakohdissa tai välin päätepisteissä kohdissa, joissa derivaattaa ei ole

10 Kuva f ’ (x) = 0

11 HUOM! Funktion suurin ja pienin arvo voivat olla myös kohdissa, missä derivaattaa ei ole

12 Juurifunktiot –ja yhtälöt

13 Juurifunktion määritelmä s. 14
n pariton: voi aina ottaa parittoman juuren n parillinen: parillista juurta EI voi ottaa negatiivisesta luvusta. Ts. xn ≥ 0, kun n on parillinen

14 Funktion määrittelyjoukko
HUOM! Parittoman juuren voi ottaa mistä tahansa luvusta. Mutta parillisen juuren vain, jos luku on suurempaa tai yhtäsuurta kuin nolla

15 Esim. Huom! 3 – 2x ≥ 0. Miksi? Lue s. 17 alareuna

16 Murtopotenssifunktiot

17 Esim.

18 Derivointikaavan käyttöä

19 Derivointikaavan käyttöä

20 Esim.

21 Esim. Suurin ja pienin arvo löytyvät aina derivaatan nollakohdista tai välin päätepisteistä. Tai kohdista, missä derivaattaa ei ole.

22 Sovelluksia

23 Esim.

24 Esim.

25 Logaritmi Ilmaise luvut 8 5 1 1/16 luvun 2 potensseina f(x) = 2x

26 Logaritmin määritelmä
Luvun a k-kantainen logaritmi on eksponenttiyhtälön kx = a ratkaisu a>0 ja k>0 ja lisäksi k erisuuri kuin 1

27 Logaritmifunktio

28 Esim.

29 Esim.

30 Kymmenkantainen logaritmi

31 Esim.

32 Logaritmikaavat

33 Logaritmikaavojen perustelua
logk a = x eli kx = a Tästä seuraa, että as =(kx)s = kxs Eli logk as = xs = sx = s logk a Opi s. 76 tulon logaritmin kaava

34 Esim.

35 Esim.

36 Eksponenttiyhtälön ratkaiseminen

37 Esim.

38 Esim.

39 Esim.

40 Neperin luku Mikä luvun k tulee olla, jotta funktion kx derivaatta kohdassa 0 on 1. f ’(0)>1 f ’(0)<1

41 Neperin luku On nähtävissä, että luvun tulee olla lukujen 2 ja 3 välillä. Tämä luku on ns. Neperin luku e ~ 2,718 S. 89 On osoitettavissa, että jos f(x) = kx, niin f ’(x) = f ’(0)f(x)

42 Funktion ex kuvaaja ja tangentti pisteessä x=0
Siis f(x)= ex ja f ’ (0) = e0 =1 Eli Dex = f ’(0)f(x) = 1*ex = ex

43 ex derivaatta

44 Luonnollinen logaritmi
kantalukuna neperin luku e ln x = lnex

45 Esim.

46 Esim.

47 Luonnollinen logaritmi

48 Esim.

49 Yhdistetty funktio

50 Yhdistetyn funktion derivoimissääntö

51 ef(x) derivoimissääntö

52 Eksponenttifunktion derivaatta

53 Esim.

54 Esim. Vihje 1. Heitä kaikki termit samalle puolelle
Vihje 2. Laske suurin ja pienin arvo

55 Funktio lnx

56 Funktion lnx derivaatta

57 Esim.

58 Esim.

59 Derivoimissäännön yleistys

60 Esim.

61 Esim.

62 Käänteisfunktio x ja y vaihtaa paikkaa
käänteisfunktio lasketaan ratkaisemalla yhtälöstä y = f(x) x-koordinaatti. kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y=x suhteen. milloin käänteisfunktio on olemassa? silloin, kun f(x) on aidosti kasvava tai vähenevä

63 Esim. tutut funktiot ex ja lnx ovat toistensa käänteisfunktioita. S
Esim. tutut funktiot ex ja lnx ovat toistensa käänteisfunktioita. S. 133 enemmän