VaR-mallien toimivuuden testaus historian avulla (backtesting)

Taustaa mallien testaukselle Mallit ovat käyttökelpoisia vain, jos ne ennustavat riittävän tarkasti Yksi keino mallin toimivuuden tarkastamiseen on historian tarkastelu tilastolliset testit keino estää pankkeja aliarvioimasta riskiä tuottodata päivittäistä VaR olettaa portfolion vakioksi

VaR-rajan ylitykset (poikkeamat) Yksi tapa tutkia mallin toimivuutta T-päiväisen periodin aikana on laskea VaR-rajan ylitysten eli poikkeamien määrä (N) Jos poikkeamia on enemmän kuin luottamusväli olettaa, malli aliarvioi riskiä Liian pieni määrä poikkeamia viittaa riskin yliarvioimiseen Molemmat ovat ongelma esim. resurssien allokoinnin tehokkuuden heikkenemisen vuoksi

Mallin testaaminen poikkeamien avulla Jokaisella VaR-mallilla on luottamustaso c*100 %, ts. on oletettavaa, että (1-c)*100 prosentissa päivistä tapahtuu poikkeama Esim. jos T=255 ja c=0,95, E(N)=255*0,05=12,75 Erot p:n (p=1-c) ja N/T:n välillä voivat johtua satunnaisuudesta, mutta milloin ero on liian suuri eli tilastollisesti merkittävä? jos N/T > p, onko syynä huono onni? jos N/T << p, ovatko markkinat olleet hiljaisemmat?

Mallin testaaminen poikkeamien avulla Poikkeamien lukumäärä N~Bin(T,p) Keskeisen raja-arvolauseen mukaan T:n kasvaessa binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla eli testaus helpottuu normaalijakauman myötä ongelmana suuret testausvirheet

Mallin testaaminen poikkeamien avulla Mallin hylkäysraja on N>4 (1-suunt. 95 %) Hylkäysvirhe, tn. 10,8 %

Mallin testaaminen poikkeamien avulla Mallin hylkäysraja on N>4 (1-suunt. 95 %) Hyväksymisvirhe, tn. 12,8 %

Mallin testaaminen poikkeamien avulla Lähestymistapa testivirheongelmaan Asetetaan pieni hylkäysvirheen todennäköisyys ja tehdään testi, joka tuottaa erittäin pienen hyväksymisvirheen todennäköisyyden Kupiec (1995) kehitti 95%:n luottamusvälin poikkeamien lukumäärälle nollahypoteesina ”p=oikein”

VaR-mallien valvominen historian avulla VaR-mallejakin valvoo Basel Committee Pienistä poikkeamaoletusarvon ylityksestä ei toimenpiteitä Esim. p=0,01, T=250 (jolloin E(N)=2,5) N < 5 katsotaan pieniksi poikkeamiksi kun 4 < N < 10, rangaistus on valvojasta kiinni perusvirhe mallissa (koodi, positiot) epätarkka malli portfolio muuttui kesken päivän ”huono onni” (iso vola tai korrelaatiot muuttuivat) N > 9 aiheuttaa automaattisen rangaistuksen

Poikkeamien aikatarkastelu Edelläkäyty menettely ei ota kantaa poikkeamien sijoittumiseen aika-akselilla Entä jos kaikki poikkeamat sijoittuvat kahden viikon sisään? iso volatiliteetti epänormaalit positiot markkinoilla Christofferssonin testi (1998) suodattaa mahdolliset sarjakorrelaatiot laajentaa Kupiecin mallia

Kehittyneemmät poikkeamatarkastelut Edelläesitetyt poikkeamatarkasteluun perustuvat metodit käyttävät pelkkää jakauman häntää hyväkseen VaR voitaisiin määritellä myös useammalle luottamusvälille, esim. p=0,01, 0,02, 0,03, …ja laskea vastaavat rajat VAR0.99, VAR0.98, … ja laskea näitä vastaavat poikkeamamäärät Kuiperin testi sovellus käytössä esim. J. P. Morganilla

Parametreja käyttävät mallit Tehokkaammat testit Oletuksena tietty jakauma, jolle määritetään parametrit (usein normaalijakauma) Käyttävät koko datan parametrin / parametrien määrittämiseen Selkeänä ongelmana jakauman muodon olettaminen

Yhteenveto Malleja seurataan ja valvotaan historian avulla Tilastollisten menetelmien avulla poikkeamatarkastelu “helppoa” Testausvirheiden myötä luottamusvälit suuria Suuriin poikkeamamääriin voi olla järkevä syy Jakaumiin perustuvat lähestymistavat

Kotitehtävä 3 Olkoon 95 % VaR-mallin tarkasteluperiodi T=425 päivää. Laske mallin hylkäämisvirheen todennäköisyys muodostamalla 95 %:n luottamusväli N:lle (käytä keskeisen raja-arvolauseen antamaa approksimaatiota). Excel on hyvä tässä.