Tilastolliset tunnusluvut

Tilastolliset tunnusluvut
Petri Kainulainen

Johdanto Frekvenssijakauma Jakauman sijaintiluvut Jakauman hajontaluvut Muunnokset

Johdanto Tilastollinen aineisto on usein hyvin laaja ja johtopäätösten tekeminen yksittäisiin havaintoihin perustuen vaikeaa ja jopa vaarallista Tilastollisilla tunnusluvuilla aineistoa kuvataan tiivistetyssä muodossa Keskiarvo luultavasti tutuin kaikista tilastollisista tunnusluvuista

Frekvenssijakauma Käytetään kun halutaan tietää luokitellun muuttujan kunkin luokan havaintoyksiköiden lukumääriä ja osuuksia Luokkia voivat olla esimerkiksi ammatti (poliisi, lääkäri, autonkuljettaja), opintojakson arvosana (1, 2, 3, 4, 5) Jatkuva muuttuja voidaan luokitella (esim. pituus , , , …)

Frekvenssi (fi) on luokan i havaintojen lukumäärä Suhteellinen frekvenssi (fi/n) on luokan i havaintojen osuus kaikista otoksen havainnoista (n) Summafrekvenssi (Fi = f1 + f2 + … + fi) kertoo, kuinka monella havainnolla muuttujan arvo on pienempi tai yhtä suuri kuin i:s luokka Suhteellinen summafrekvenssi kertoo, kuinka suuri osa koko havaintoaineistosta on pienempi tai yhtä suuri kuin kyseinen luokka ks esimerkit 2 ja 3

Esim. Tutkimukseen vastanneiden korkein koulutustaso Koulutus Frekvenssi (fi) Suhteellinen frekvenssi (%) Peruskoulu 23 5,3 Toinen aste (ammatillinen/lukio) 154 35,6 Opistotaso 97 22,5 Ammattikorkeakoulu 102 23,6 Yliopisto 56 12,9 Yhteensä 432 100,0

Esim. Tutkimukseen osallistuneiden ikä luokittain Ikä Frekvenssi Summa-frekvenssi Suhteellinen summa-frekvenssi Alle 20 109 0,23 20–30 145 254 0,53 31–40 162 416 0,86 Yli 40 66 482 1,00 Yhteensä

Jakauman sijaintiluvut Jakauma kuvaa havaintoarvojen (esim. kuukausitulot) sijoittumista kaikkien mahdollisten arvojen joukossa Jokaisen mitattavan muuttujan oletetaan noudattavan jotain jakaumaa Jakaumia on hyvin monenlaisia, joista ehkä kuuluisin normaalijakauma (Gaussin käyrä, kellokäyrä) Jakauman sijaintiluvuilla kuvataan sitä, mihin kohtaa jakaumaa havainnot sijoittuvat

Normaalijakauma odotusarvolla 0 ja varianssilla 1. Esimerkkejä: hyvin monia luonnontieteissä. Eksponenttijakauma, lambda=0,5. Esimerkkejä: palvelupisteeseen saapuvien asiakkaiden väliaika, palvelun kestoaika. Tiheysfunktio: Tiheysfunktio:

Χ2-jakauma vapausastein 3. Käytetään joissakin tilastollisissa testeissä. Jatkuva tasajakauma välillä [1,9]. Kaikkien havaintojen todennäköisyys on yhtä suuri.

Binomijakauma, toistojen määrällä 5 ja todennäköisyydellä 0,3. Esimerkki: onnistumisten määrä tietyllä toistojen lukumäärällä ja yhden onnistumisen todennäköisyydellä. Poisson-jakauma odotusarvolla 3. Esimerkki: asiakasmäärät palvelupisteessä tiettynä ajanjaksona. Tiheysfunktio: Tiheysfunktio:

Keskiarvo Yleisin jakauman sijaintia kuvaava tunnusluku Matemaattisin merkinnöin kirjoitettuna jossa xi on i:nnen havainnon arvo ja n havaintojen lukumäärä

Esim. Kymmenen työntekijän otoksesta saatiin seuraavanlaiset kuukausipalkat 1200, , 1500, 1650, 1820, 2100, 2510, 2560, 2800, Lasketaan näiden palkkojen keskiarvo. Tämän perusteella voidaan todeta, että näiden henkilöiden palkka oli keskimäärin 2061 euroa kuukaudessa.

Mediaani (Md) Yleinen jakauman paikkaa kuvaava tunnusluku varsinkin, jos jakauma on vino (esim. eksponenttijakautunut muuttuja) Mediaani on suuruusjärjestykseen järjestetyn aineiston keskimmäinen havainto, jos havaintoja on pariton määrä  --*--*-----*--*-*------*--* **-- Jos havaintoja on parillinen määrä, mediaani on kahden keskimmäisen havainnon keskiarvo

Esim. Edellisen esimerkin kymmenen työntekijän otoksesta määritetään mediaani. Kuukausipalkat järjestetään ensin suuruusjärjestykseen. Kun havaintoja on parillinen määrä, mediaani on kahden keskimmäisen havainnon keskiarvo. 1200, 1450, 1500, 1650, 1820, 2100, 2510, 2560, 2800, 3020  Md = ( )/2 = 1960 Jos viimeinen havainto (3020) jätetään pois, havaintoja on pariton määrä ja tällöin mediaani on 1820.

Jos jakauma on vino, keskiarvo ja mediaani poikkeavat toisistaan. Tällöin mediaani kuvastaa paremmin jakauman sijaintia.

Moodi eli tyyppiarvo (Mo) Se muuttujan arvo, joita havaintoaineistossa on eniten Useimmin esiintyviä arvoja voi olla useampia kuin yksi, tällöin moodi ei ole yksikäsitteinen Voidaan määritellä jo luokka-asteen muuttujalle Esim. Kymmenen oppilaan otoksen matematiikan arvosanat jakautuivat seuraavasti: Tällöin suurin määrä on numeron kahdeksan saaneita ja näin ollen moodi Mo=8.

Jakauman hajontaluvut Keskiluvut eivät riitä osoittamaan, miten havainnot jakautuvat aineistossa (ei voida kuvata esim. palkkaeroja) Havaintojen keskinäistä sijaintia ja jakautumista voidaan kuvata hajontaluvuilla Usein kuvataan havaintojen jakautumista keskiarvon ympärille, mutta muitakin lukuja on käytössä Hajontaa voidaan luonnehtia esim. seuraavalla tavalla **-*-****---*-*** ”pieni hajonta” --**----*---* ***-* *----**--- ”suuri hajonta”

Esimerkki pienestä ja suuresta hajonnasta. Molemmissa keskiarvo on noin 100, mutta hajonta poikkeaa (varianssi 20 ja 100).

Vaihteluväli Ulottuu havaintoaineiston pienimmästä arvosta suurimpaan arvoon Ilmoitetaan kaarisulkuja käyttäen, luvut pilkulla (tai muulla vastaavalla) eroteltuna Voidaan laskea myös vaihteluvälin pituus, joka on havaintoaineiston suurimman ja pienimmän arvon välinen erotus Esim. Vaihteluväli esimerkin 4 työntekijöiden palkoista on (1200, 3020) ja vaihteluvälin pituus 3020 – 1200 = 1820.

Keskihajonta eli standardipoikkeama (s) Tärkein ja eniten käytetty hajonnan mitta Käyttö sallittu vain suhde- ja välimatka-asteikon muuttujille laskennassa otetaan huomioon se, miten kukin havainto poikkeaa keskiarvosta Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna jossa xi on i:nnen havainnon arvo ja n havaintojen lukumäärä

Esim. Kymmenen työntekijän otoksesta saadut palkat olivat 1200, 1450, 1500, , 1820, 2100, 2510, 2560, 2800 ja 3020 euroa. Lasketaan näiden palkkojen keskihajonta. Keskiarvo ja keskihajonta voidaan ilmoittaa yhdessä seuraavasti: otoksen henkilöiden keskipalkka oli 2061 ± 630 euroa.

Keskihajonnan laskeminen edellä esitetyn kaavan avulla on monesti työlästä Keskihajonta voidaan myös laskea ilman keskiarvoa seuraavasti

Esim. Palkkojen keskihajonta laskettuna ilman keskiarvoa xi xi2

Variaatiokerroin (CV, V) Variaatiokerroin on mittayksiköistä riippumaton hajonnan mitta Muuttujan tulee olla suhdeasteikollinen Kerrotaan usein sadalla, jolloin saatu luku CV% kertoo montako prosenttia keskihajonta on otoksen keskiarvosta Variaatiokerroin on keskihajonnan ja keskiarvon suhde Esim. Aikaisempien esimerkkien otoksen henkilöiden palkan variaatiokerroin on

Muita jakauman sijaintia ja hajontaa kuvaavia tunnuslukuja Fraktiilit – p%:n fraktiili on arvo, jota pienempiä on p% havainnoista Kvartiilipoikkeama – kuinka pitkällä välillä aineiston ”keskellä” olevat 25% havainnoista sijaitsevat Mediaanipoikkeama – keskihajonnan tyyppinen, mutta mittaa sitä kuinka havainnot poikkeavat mediaanista Varianssi – keskihajonnan toinen potenssi, jolla on suuri merkitys tilastotieteen teoriassa

Muunnokset Useat tilastolliset testit (t-testi, varianssianalyysi, regressioanalyysi) edellyttävät havaintojen noudattavan normaalijakaumaa Vaikka alkuperäiset havainnot eivät tätä ehtoa täyttäisikään, voidaan tilannetta yrittää korjata erilaisten muunnoksien avulla Muunnettuihin arvoihin perustuvien testien tulosten tulkinta ei ole aina yksinkertaista Tärkeimpiä muunnoksia ovat logaritmimuunnos neliöjuurimuunnos arvojen normitus keskiarvoon nolla ja varianssiin yksi

Tilastolliset tunnusluvut

Samankaltaiset esitykset

Esitys aiheesta: "Tilastolliset tunnusluvut"— Esityksen transkriptio:

Samankaltaiset esitykset

Projektista

Palaute

Kirjaudu sisään

Kirjaudu sisään sosiaaliverkostojen kautta:

Tilastolliset tunnusluvut

Samankaltaiset esitykset

Esitys aiheesta: "Tilastolliset tunnusluvut"— Esityksen transkriptio:

Samankaltaiset esitykset

Projektista

Palaute