Value at Risk:in laskeminen Teemu Ojalehto tojaleht@cc.hut.fi

Sisältö VaR:in oletukset VaR yleisille jakaumille Suhteellinen VaR Absoluuttinen VaR VaR parametrisille jakaumille Oletukset Johto VaR riskin mittana Aikahorisontin ja luottamustason valinta

Sisältö Mittausvirheiden ongelma Estimointivirheet keskiarvossa ja varianssissa Laskentametodien vertailua Yhteenveto Kotitehtävä 3 Sanastoa

Miksi laskea VaR? VaR kertoo helposti ymmärrettävällä tavalla, kuinka paljon sijoitussalkku pienenee tietyn ajanjakson aikana tietyllä todennäköisyydellä VaR kertoo suurimman odotetun menetyksen (pahin menetys) tietyllä aika horisontilla ja luottamustasolla VaR kertoo menetyksistä, koska ne ymmärretään riskeiksi VaR ei kerro suurimmasta mahdollisesta menetyksestä, ts. menetyksillä ei ole ylärajaa

VaR:in oletukset Ensimmäinen oletus: Sijoitussalkku säilyy muuttumattomana yli tarkastelu ajanjakson Toinen oletus: Sijoitussalkulle on olemassa markkinahinta tarkasteltavalla ajanjaksolla

Esimerkki VaR:in laskemisesta (Jorion, s. 109) Sijoitussalkun arvo on ($100M) Riskitekijöiden vaihtelu on (15% volatiliteetti) Asetetaan aikahorisontti eli aika, jolloin salkku pysyy muuttumattomana (10 päivää) Luottamustason valinta (99%-luottamustaso, normaalijakaumasta 2,33) Raportoidaan pahin menetys $100M* 15% * * 2,33 = $7M eli 99% tn. maksimitappio seuraavan 10 päivän aikana on $7M Asia ei ole aivan näin yksinkertainen

VaR yleisille jakaumille Olkoot W0 alkusijoitus, R on sijoitusten tuotto, W= W0(1+R) sijoituksen arvo aikaperiodin jälkeen. E(R)=µ ja R:n keskihajonta on Alin sijoituksen arvo annetulla luottamustasolla c on W*= W0(1+R*) Määritelmä: Suhteellinen VaR on menetys suhteessa odotettuun arvoon VaR(k-a)= E(W) - W*= W0(1+µ) -W0(1+ R*) = -W0(R*-µ)

VaR yleisille jakaumille Määritelmä: Absoluuttinen VaR, menetys suhteessa alkutilanteeseen VaR(nolla)= W0- W* = - W0 R* Sama asia kuin W* tai R* löytäminen Aika horisontin ollessa lyhyt niin kummatkin VaR:it antavat saman tuloksen Suhteellinen VaR käsitteellisesti tarkoituksenmukaisempi, koska se näyttää poikkeamisen odotetusta arvosta (tai budjetoidusta) päättymispäivänä

VaR yleisesti Sijoitussalkun arvon todennäköisyysjakauma olkoon tulevaisuudessa f(w) Valitulla luottamustasolla c, halutaan löytää huonoin realisaatio W* siten, että todennäköisyys realisaation (W*) ylittämiseen on c

VaR yleisesti Todennäköisyys sille, että sijoitussalkun arvo on pienempi kuin W* W* on jakauman kvantiili Huomaa -Keskihajontaa ei käytetty VaR:in löytämiseen -Menetelmä käy mille tahansa jakaumalle: diskreetti, jatkuva, vinous, huipukkuus

VaR yleisesti

VaR parametrisille jakaumille VaR:in laskeminen helpottuu, jos jakauma kuuluu parametrisiin jakaumiin (esim. normaalijakauma) Sijoitussalkun arvon todennäköisyysjakaumaa approksimoidaan jollakin jakaumalla Yleinen jakauma f(w) halutaan muuntaa normaalijakaumaksi [N(0,1)] W*=W0(1+R*), R*<0, kirjoitetaan -|R*|

VaR parametrisille jakaumille Normittaminen Saadaan VaR:in etsiminen on sama kuin etsiä α s.e. jakaumassa vasemmalle jäävän pinta-alan osuus on 1-c (c=97,5%)

VaR parametrisille jakaumille Käytetään kertymäfunktioiden taulukoita

VaR:in johto Oletus: Sijoitussalkun tuotot ovat korreloimattomia yli ajan eli on olemassa tehokkaat markkinat, osakkeiden hinnoissa kaikki oleellinen informaatio jo mukana. Hinnat seuraavat satunnaiskulkua. Tuotot siis i.d.d.. E(Rt-1)=E(Rt) = E(R) eli tuotto yli kahden aikaperiodin on E(Rt,2)=E(Rt-1) + E(Rt) =2E(R), vastaavasti varianssi Odotusarvo ja varianssi kasvavat lineaarisesti ajan mukana

VaR:in johto VaR(µ)= -W0(R*-µ) , keskihajonta hajonta kasvaa ajan neliöjuuren funktiona, koska varianssi kasvoi lineaarisesti ajan funktiona Aika t vuosissa (kuukausidata 1/12, päivädata 1/252), keskihajonta ja odotusarvo vuosidatasta, α on normaalijakauman prosenttipiste, saadaan taulukosta

VaR:in johto Absoluuttinen VaR:

VaR riskin mittana Markowitz (1952): ”ole yhtä kiinnostunut riskistä kuin tuotosta” Roy (1952), minimoida todennäköisyyttä, että sijoitussalkku joutuu perikatoon Artzner ja kump. (1999) listasi neljä toivottavaa ominaisuutta riskin mitalle Riskin mitta on funktio sijoitussalkun arvon todennäköisyysjakaumasta

VaR riskin mittana Monotonisuus; Käännösinvarianssi; Homogeenisyys; Subadditiivisuus; Kvantiiliin perustuva VaR ei toteuta viimeistä ehto Sijoitussalkun arvot normaalijakaumasta niin ehdot täyttyvät

Aikahorisontin ja luottamustason valinta VaR kasvaa kun aikahorisontti pitenee tai luottamustaso kohoaa Usein VaR on yhtiön mittatikku vertailtaessa riskejä eri markkinoilla samanlainen riskijakauma eilen ja tänään ? (vähennetään/lisätään panostuksia) valinta aikahorisontin ja luottamustason välillä on ”mielivaltainen”, (mittauksen kohteesta riippuvainen) syytä olla johdonmukainen

Aikahorisontin ja luottamustason valinta VaR menetyksen mittana aikahorisontti pitäisi valita sijoitussalkun aikahorisontin mukaan aikahorisontti sen mukaan kuinka nopeasti sijoitussalkku on rahaksi muutettavissa aikahorisontti yhtä pitkäksi kuin sijoitussalkku pysyy muuttumattomana

Aikahorisontin ja luottamustason valinta VaR liikepääoman riittävyyden mittarina luottamustason valinta pitäisi heijastaa yhtiön riskiprofiilia aikahorisontti valita siten, että aikaa korjaaville toimenpiteille on kun menetykset alkavat kehittyä

Aikahorisontin ja luottamustason valinta Kriteereitä VaR-mallien toimivuuden testaamiseen oleellista testata säännöllisesti käytettyä riskimallia ja sen osuvuutta pitkä aikahorisontti laskee riippumattomien havaintojen määrää, kahden viikon aikahorisontilla vuodessa on 26 riippumatonta havaintoa luottamustason valinta vaikuttaa myös testaamiseen, 95%-luottamustasolla kerran 20 ylitetään VaR, 97,5%-luottamustasolla kerran 40 ylitetään VaR (Backtestingistä kuullaan ensi kerralla lisää)

Muutokset VaR parametreissä Luottamustaso S.D. α Aika 95% -1,645 4 viikkoa -5,47 99% -2,326 2 viikkoa 99,95% -3,290 1 viikko Norm.jakaumasta Volatiliteetti 12%

Mittausvirheiden ongelma Jos päivän aikahorisontilla ja 95%-luottamustasolla VaR on $15M, niin kuinka luotettava estimaatti on? onko 95%-tn. oikea estimaatti välillä $14M ja $16M vai välillä $5M ja $25M Luottamusvälit antavat aika erilaisen kuvan VaR:sta Virheet keskiarvon ja varianssin mittaamisessa, johtavat VaR:ssa epävarmuuteen

Estimointivirheet keskiarvossa ja varianssissa Oletetaan, että takana oleva jakauma on normaalinen, tällöin ,missä T otoskoko, keskivirheelle (standard error)

Estimointivirheet keskiarvossa ja varianssissa Esimerkki (Jorion s.123-4) 26 vuoden kuukausidata eli 312 havaintoa otosparametrit Volatiliteetti on estimoitu paljon tarkemmin kuin odotettu tuotto Otoskoon kasvaessa kasvaa estimaattien luottamus

Laskentametodien vertailua Luottamusvälit VaR estimaateille, normaalijakauma, T=250 Kvantiili-menetelmällä estimoitaessa on huomattava virhe, eritoten korkealla luottamustasolla Parametrinen-menetelmä tuottaa tarkempia estimaatteja otoskeskihajonta sisältää enemmän informaatio kuin otos kvantiili

Yhteenveto Kaksi tapaa laskea VaR: Kvantiili-menetelmä: empiirisestä jakaumasta valitaan kvantiili s.e. haluttu luottamustaso saavutetaan Mahdolliset epätarkkuudet muistettava VaR:ssa Parametrinen-menetelmä: jakaumaan yritetään sovittaa parametrinen jakauma, jonka keskihajonnasta mitataan VaR Helppo käyttää ja tuottaa parempia estimaatteja Aina approksimaatio ei ole hyvä

Yhteenveto VaR:in oletukset olennaisia, mikäli oletuksia rikotaan niin… Luottamustaso ja aikahorisontti tulee valita tarkoituksen mukaisesti Estimointivirheet johtavat epätarkkuuteen VaR:ssa

Kotitehtävä 3 palautus 6.2.2002 Sijoitukset $1M, osakkeissa pitkällä aikavälillä (eli etsi sopiva volatiliteetti). Laske VaR 97,5%-luotettavuustasolla. Jakauma normaalinen N(0,1). Laske VaR kuten edellä olettaen normaalijakauman huipukkuudeksi 6. Onko volatiliteetti vakio yli ajan? Kriittiset tekijät VaR:in laskemisessa. (Ainoastaan muutaman rivin runoilut hyväksytään)

Sanastoa Relative VaR= ”suhteellinen VaR” Absolut VaR= ”absoluuttinen VaR” Time horizon= ”aikahorisontti” Confidence level= ”luottamustaso” Kvantiili- ja parametrinen-menetelmä