Estimointi Laajennettu Kalman-suodin

Esitys aiheesta: "Estimointi Laajennettu Kalman-suodin"— Esityksen transkriptio:

1 Estimointi Laajennettu Kalman-suodin
AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

2 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, kun prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen tai yleisessä muodossa

3 Ideaalinen tilamalli Lineaarinen tilamalli
Yleisessä muodossa oleva tilamalli

4 Todellinen (kohinainen) tilamalli
Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli

5 Kohina Kohinakomponentit käsitellään usein nollakeskiarvoisina, ja niiden kovarianssit oletetaan tunnetuiksi Ellei todellisia kovariansseja tunneta, käytetään kovarianssimatriiseja viritysparametreina

6 Varianssi Kuvaa yhden (satunnais)muuttujan vaihtelua
Nollaksekiarvoisen muuttujan varianssi lasketaan muuttujan arvojen neliöiden keskiarvona

7 Kovarianssi Kuvaa useamman muuttujan vaihtelua
Muuttujat pystyvektorissa Nollakeskiarvoisen muuttujan kovarianssi lasketaan muuttujavektorin ja sen transpoosin keskiarvona Diagonaalielementit kunkin muuttujan variansseja Muut elementit kuvaavat muuttujien keskinäisiä kovariansseja

8 Kalman-suodin Estimoi prosessin sisäistä tilaa
Ennakoi prosessin tilaa perustuen malliin Korjaa ennakoitua estimaattia perustuen mittaukseen Mittauksen ja estimaatin keskinäinen paino riippuu mittausten, prosessimallin ja estimaatin kovariansseista

9 Laajennettu Kalman-suodin
Kalman-suotimen perusversio toimii vain lineaarisilla tilamalleilla Laajennettua Kalman-suodinta voidaan käyttää myös epälineaaristen prosessien kanssa

10 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessin tilamalli yleisessä muodossa Kohinatermien w(k) ja v(k) kovarianssit

11 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

12 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

13 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

14 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

15 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

16 Laajennettu Kalman-suodin
Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

17 Indeksien merkintä A-priori –estimaatti: ennakointi
x(k | k –1) A-posteriori –estimaatti: korjaus x(k | k) tai x(k –1 | k –1) ^ Tarkasteltava ajanhetki Ajanhetki, johon asti on olemassa mittausdataa ^ ^

18 Vahvistusmatriisi K Kuvaa mallin tarkkuutta
Jos jotkin osat mallissa ovat epätarkkoja, painotetaan mittauksia enemmän kuin mallia Lineaarisessa ja staattisessa tapauksessa K-matriisia voidaan pitää vakiona Epälineaarisessa tapauksessa K pitää laskea jokaisella kierroksella uudelleen

19 Vahvistusmatriisi K ^ K lasketaan käyttäen hyväksi estimaatille x estimoitua kovarianssia P P:lle lasketaan a-priori- ja a-posteriori-estimaatit P:n ja K:n laskemisessa tarvitaan lineaarisen mallin matriiseja A ja C

20 A- ja C-matriisien linearisoiminen
Lasketaan Jakobin matriisi (jakobiaani) Derivoidaan f:n kukin komponentti x:n komponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan käyttää A:n paikalla Derivoidaan h:n kukin komponentti x:n komponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan käyttää C:n paikalla

21 Esimerkki Tilavektorissa x(k) on 2 elementtiä: x1, x2
 f(k) on vektori, jossa on 2 elementtiä: f1, f2  A(k) on 2x2 kokoinen A:n korvaava matriisi:

22 Esimerkki Mittausvektorissa y(k) on 1 elementti
 h(k) on vektori, jossa on 1 elementti  C(k) on 1x2 kokoinen C:n korvaava matriisi:

23 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 1/7
Tilan ennakointi seuraavaan mittaushetkeen

24 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 2/7
A:n korvaava derivaatta

25 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 3/7
Tilan estimointivirheen kovarianssi (ennakointi) seuraavaan mittaushetkeen

26 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 4/7
C:n korvaava derivaatta

27 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 5/7
Estimoinnin vahvistuksen K(k) laskenta

28 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 6/7
Tilan päivitys mittauksella

29 Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 7/7
Tilan estimointivirheen kovarianssin päivitys

30 Rekursio Siirrytään seuraavaan ajanhetkeen k+1
x(k|k)  x(k-1|k-1) P(k|k)  P(k-1|k-1) Palaataan Kalman-suotimen vaiheeseen 1 ^ ^