Diskreetit todennäköisyysjakaumat

Esitys aiheesta: "Diskreetit todennäköisyysjakaumat"— Esityksen transkriptio:

1 Diskreetit todennäköisyysjakaumat
Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

2 Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka liittyy satunnaisilmiöön Satunnaismuuttujan arvo selviää, kun satunnaisilmiö on tapahtunut Aki Taanila

3 Diskreetti - Jatkuva Satunnaismuuttuja on diskreetti eli epäjatkuva, jos se voi saada vain tiettyjä arvoja (valmistuserän viallisten tuotteiden lukumäärä, tuotteen päivämyynnin kappalemäärä jne.) Satunnaismuuttuja on jatkuva, jos se voi tietyllä välillä saada minkä tahansa arvon (pörssiosakkeen hinta, sähkölampun kestoikä jne.) Aki Taanila

4 Diskreetti todennäköisyysjakauma
Diskreetin satunnaismuuttujan mahdolliset arvot ja niiden todennäköisyydet Aki Taanila

5 Onnenpyörä Jos onnenpyörän voiton todennäköisyys on 15%, niin viiden pyörityksen voittojen todennäköisyysjakauma on oheisen taulukon mukainen voittoja todennäköisyys 44,3705% 1 39,1505% 2 13,8178% 3 2,4384% 4 0,2152% 5 0,0076% Aki Taanila

6 Kahden nopan heitto Silmälukujen summan todennäköisyysjakauma
Aki Taanila

7 Kertymäfunktio Kertymäfunktio F(x) on todennäköisyys, että satunnaismuuttajan arvo on korkeintaan x x F(x) 2 1/36 3 3/36 4 6/36 5 10/36 6 15/36 7 21/36 8 26/36 9 30/36 10 33/36 11 35/36 12 36/36 Kertymäfunktion avulla voidaan nopeasti laskea todennäköisyyksiä: P(X<7) = 15/36  0,42 P(X>9) = 1 – 30/36 = 6/36  0,17 P(4<X<9) = 26/36 – 6/36 = 20/36  0,56 Aki Taanila

8 Odotusarvo Empiirisen jakauman keskiarvoa vastaava käsite todennäköisyysjakaumilla on odotusarvo. Esimerkkejä: nopan heitossa silmäluvun odotusarvo on 3,5 vakuutusyhtiö on kiinnostunut tulevan vuoden vakuutuskorvausten odotusarvosta sijoittaja on kiinnostunut tietyn arvopaperisalkun tuoton odotusarvosta Aki Taanila

9 Odotusarvon laskeminen
Jos todennäköisyysjakauma tunnetaan, niin odotusarvo on satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillä painotettu summa. Aki Taanila

10 Binomijakauma Punaisten lukumäärä 15 ruletin pyörityksessä
Binomijakauma Punaisten lukumäärä 15 ruletin pyörityksessä Viallisten lukumäärä viiden tuotteen erässä Ydinvoiman kannattajien määrä 1000 henkilön otoksessa Ostavien asiakkaiden määrä sisään saapuneista 100 asiakkaasta Aki Taanila

11 Binomijakauma Bin(n,p)
Oletetaan, että satunnaisilmiöllä on täsmälleen kaksi tulosvaihtoehtoa A (todennäköisyys p) ja B (todennäköisyys 1-p), joiden todennäköisyydet säilyvät vakioina Todennäköisyys, että satunnaisilmiötä n kertaa toistettaessa saadaan A sattumaan k kertaa voidaan laskea binomijakauman avulla Aki Taanila

12 Binomijakauma ja Excel
Todennäköisyys =BINOMDIST(k;n;p;0) Kertymäfunktio =BINOMDIST(k;n;p;1) k = onnistumisten lukumäärä n = toistojen lukumäärä p = onnistumisen todennäköisyys Aki Taanila

13 Poisson-jakauma 20 minuutissa liikkeeseen saapuvien asiakkaiden määrä
Tuote-erässä esiintyvien viallisten määrä Autoliikkeen viikossa myymien autojen lukumäärä Risteyksessä vuoden aikana sattuvien onnettomuuksien määrä Aki Taanila

14 Poisson jakauma Tietyssä aikavälissä (tai pinta-alassa, tilavuudessa jne.) sattuvien harvinaisten tapahtumien lukumäärä noudattaa useimmissa käytännön tilanteissa likimain Poisson jakaumaa. Poisson jakaumaa voidaan käyttää binomijakauman approksimaationa, kun n on suuri ja p on pieni (harvinainen tapahtuma) Other Examples: Number of machines that break down in a day Number of units sold in a week Number of people arriving at a bank teller per hour Number of telephone calls to customer support per hour Aki Taanila

15 Poisson jakauma Poisson jakaumaa käyttäen voidaan laskea todennäköisyys sille, että tietyssä aikavälissä (pinta-alassa, tilavuudessa jne.) tapahtuma tapahtuu k kertaa. Laskenta onnistuu, kunhan keskimääräinen tapahtumisten lukumäärä  on tiedossa. Aki Taanila

16 Poisson-jakauma ja Excel
Todennäköisyys =POISSON(k;;0) Kertymäfunktio =POISSON(k;;1) k = onnistumisten lukumäärä  = onnistumisten lukumäärän odotusarvo Aki Taanila

17 Jatkuvat todennäköisyysjakaumat
Tiheysfunktio Kertymäfunktio Normaalijakauma

18 Normaalijakauma Monet jatkuvat satunnaismuuttujat noudattavat normaalijakaumaa Yleisesti voidaan sanoa, että muuttujat joiden arvo määräytyy monen eri tekijän vaikutuksesta noudattavat normaalijakaumaa Esimerkkejä: mittausvirheet, teollisesti valmistettujen tuotteiden ominaisuudet, ihmisten fyysiset ominaisuudet, sijoitusten tuotot jne. Aki Taanila

19 Tiheysfunktio Normaalijakauma määritellään tiheysfunktion avulla:
tiheysfunktion alle jäävä pinta-ala = 1; pinta-ala edustaa todennäköisyyttä odotusarvo Aki Taanila

20 Kertymäfunktio Kertymäfunktio kohdassa x =
Kohdan x vasemmalle puolelle jäävä pinta-ala = Todennäköisyys korkeintaan x:n suuruiselle arvolle: x Aki Taanila

21 Normitettu jakauma N(0,1)
Kertymäfunktion arvoja on taulukoitu normaalijakaumalle, jonka odotusarvo on 0 ja keskihajonta 1 Jakaumaa kutsutaan normitetuksi normaalijakaumaksi ja merkitään N(0,1) Aki Taanila

22 Normitettu jakauma ja Excel
Kertymäfunktio =NORMSDIST(z) Satunnaismuuttuja =NORMSINV(kertymäfunktio) z = normitetun jakauman satunnaismuuttujan arvo Aki Taanila

23 Jakauman normittaminen
Minkä tahansa normaalijakauman N(,) satunnaismuuttuja voidaan muuntaa normitetun jakauman N(0,1) satunnaismuuttujaksi: SAMA PINTA-ALA! x  z Aki Taanila

24 Normaalijakauma N(,) ja Excel
Kertymäfunktio =NORMDIST(x;;;1) Satunnaismuuttujan arvo =NORMINV(kertymäfunktio;;) x = satunnaismuuttujan arvo = normaalijakuaman odotusarvo  = normaalijakauman keskihajonta Aki Taanila

25 Binomi - Normaali Jos binomijakaumassa on suuri toistojen määrä, niin jakaumaa voidaan approksimoida normaalijakauman avulla: Approksimaation tarkkuus paranee toistojen määrän kasvaessa. Approksimaatiota tarvitaan, koska binomijakauma on suurilla toistojen määrillä laskennallisesti vaikea (tosin nykyiset Excelin versiot osaavat binomijakauman melko isoillakin toistojen määrillä) Aki Taanila