Analyyttinen geometria MA 04

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

Yleistä Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen

Advertisements

Linssit (lenses).

MB 3 Lineaarisia polynomifunktioita

Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

MAB8: Matemaattisia malleja III

Funktiot ja yhtälöt MA 01 Läsnäolovelvollisuus 100 %

Pisteellä ei ole ulottuvuutta. Sitä merkitään isolla kirjaimella.

Lineaarisia malleja.

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Kuperan linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

Kolmion ominaisuuksia 2

Nopeus s t v nopeus = matka: aika v = s :t

Kappaleiden tilavuus 8m 5m 7cm 5 cm 14cm 6cm 4cm 4cm 3cm 10cm.

Integraalilaskenta MA 10

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Vektorit MA 05 Mihin lukiolainen tarvitsee matematiikkaa

Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

Geometria MA 03 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.

4. Jakaumien teoriaa Jos diskreetin satunnaismuuttujan x

MAB8: Matemaattisia malleja III

TMA.003 / L3 ( )1 3. Funktioista 3.1. Kuvaus ja funktio Olkoon A ja B ei-tyhjiä joukkoja. Tulojoukon A  B = {(x,y) | x  A, y  B} osajoukko on.

KULMAN PUOLITTAJA Kulman puolittaja on kulmaan kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi. k a/2 k Uraehto: Kulman puolittaja.

1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

Diofantoksen yhtälö 10x + 4y = 36.

Janan keskinormaali A A ja B ovat janan päätepisteet ja M sen keskipiste. M Janan keskinormaali on kohtisuorassa janaa vastaan sen keskipisteessä. AM =

TÄRPPEJÄ – YO 2010 PITKÄ MATEMATIIKKA.

LINEAARINEN MUUTOS JA KULMAKERROIN

Raja-arvon määritelmä

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

Aritmeettinen jono jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,… Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen.

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE1110 SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA 4.DIVERGENSSI JA DIVERGENSSI TEOREEMA.

3.1.2 Skalaaritulo eli pistetulo

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1. Usean muuttujan funktiot

Koveran linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus.

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

2.2.2 Avaruuden vektori koordinaatistossa

KESKIVIIKKO KOTITETEHTÄVÄT. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suoran yhtälön muodostaminen

2.1.2 Tason vektori koordinaatistossa

7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella. Keskuskulma =

Liike Nopeus ja kiihtyvyys.

3.2. TILAVUUDEN LASKEMINEN

2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Pinta-alan käsite Kirja, sivut

Paraabelin huippu Paraabelin huippu

Suora Suorien leikkauspiste Yhtälöparin ratkaisu

3.3. Käyrän tangentti ja normaali

Neperin luku e ja funktio y = ex

Suorien leikkauspiste

#perjantaipähkinä

Funktio ja funktion kuvaaja

MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

TMA.003 / L3 ( ) I asteen yhtälö Perusaskeleet: (1) termi saa vaihtaa puolta, jos se samalla vaihtaa merkkiä 5x = 4x + 2  5x – 4x = 2 (2)

Funktion kuvaajan piirtäminen

Pohjatunti Mab 3 /mls. Harjoituskoe: 1. Suora kulkee pisteiden (2, 9) ja (–1, ‑ 6) kautta. Määritä kyseisen suoran yhtälö. Missä pisteessä suora leikkaa.

MATEMAATTISIA MALLEJA I Mab 3 Meri Sirkeinen Siikajoen lukio.

Syventävä matematiikka 2. kurssi

21. Tasainen etenemisliike on liikettä, jossa kappaleen nopeus ei muutu

Suoran yhtälön muodostaminen, kun suoralta tunnetaan 2 pistettä

Itseisarvo ja vastaluku

Yhteen- ja vähennyslasku

Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)

Esityksen transkriptio:

Analyyttinen geometria MA 04 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan oppimisesta

Etäisyys lukusuoralla Mitä tarkoittaa luvun itseisarvo? Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta Merkitään |a|

Esim.

Itseisarvon määritelmä s. 12

Lukujen a ja b etäisyys lukusuoralla Esim. Jos a = 9 ja b = 2 Esim. Jos a = 9 ja b = 13 Yleisesti

Janan keskipiste

Itseisarvoyhtälöt

Huom! Ratkaise yhtälö |x+2| = -2

Esim.

Huom! |a| = |b| jos ja vain jos (joss) a = b tai a = -b Esim. Ratkaise yhtälö |x+2| = |2x - 1| Muita ominaisuuksia s. 13

Itseisarvoepäyhtälöt

Huom! Ratkaise yhtälö |4x-15| < -1

Itseisarvoepäyhtälöt

Tason suorakulmainen koordinaatisto Laske kolmion pinta-ala

Kahden pisteen etäisyys tasossa

Yleisesti

Janan keskipiste tasossa

Esim.

Pistejoukon yhtälö

Esim.

Ympyrän yhtälö Ympyrän keskipiste on (4, -1) ja säde on 5. Millä ehdolla piste A = (x,y) on ympyrällä?

Yleisesti Jos ympyrän keskipiste on (a,b) ja säde r, niin ympyrän yhtälö on (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Esim.

Esim.

Huom! Lue s. 45 esim.4 ja opettele, miten ympyrän voidaan piirtää graafisella laskimella

Ympyrän yhtälö muodossa Tässä ympyrän yhtälön sulkeet on avattu ja kaikki termit siirretty samalla puolelle. Esim.

Muistikaavat

Neliöksi täydentäminen Tavoitteena lisätä puuttuva termi, jotta saataisiin muistikaava aikaiseksi Esim. x2 + 10x + 52 = x2 + 14x y2 – 3y y2 – 9y

Esim.

Suoran kulmakerroin

Suoran kulmakertoimen määritelmä

Määritä suorien kulmakertoimet

Erikoistapaukset

Suuntakulma Suoran kulmakerroin on 2. Laske suuntakulma

Suuntakulman määritelmä

Esim. Laske suuntakulma, kun suoran kulmakerroin on – 2/3

Kulmakertoimen laskeminen

Yleisesti

Esim. Suora kulkee pisteiden (-18, 23) ja (13,19) kautta. Laske suoran kulmakerroin.

Esim. Suora kulkee pisteen (1,2) kautta ja kulmakerroin on 3. Piirrä suora. Osoita, että piste (2,3 ; 5,9) on suoralla. Millä ehdolla piste (x,y) on suoralla?

Suoran yhtälön muodostaminen

Esim.

Koordinaattiakseleiden suuntaiset suorat Muodosta pisteen (5,2) kautta kulkevan x-akselin suuntaisen suoran yhtälö y-akselin suuntaisen suoran yhtälö

Yleisesti

Yhtälö Ax + By +C = 0 Mitä pistejoukkoa esittää yhtälö 4x – 3y – 9 =0 ?

Esim. Suora kulkee pisteen (-3, 7) kautta ja suoran kulmakerroin on -5/6. Muodosta suoran yhtälö yleisessä muodossa. Missä pisteissä suora leikkaa koordinaattiakselit?