Simulointimenetelmät Toni Tamminen toni.tamminen@hut.fi

Sisältö Johdanto Stokastisia malleja Yhden ja useampien riskitekijöiden mallien Monte Carlo-simulointi Deterministinen simulointi Yhteenveto

Johdanto Simulointi on joustavin tapa arvioida VaR:ia Mahdollistaa eri riskilähteiden huomioinnin, eksoottiset rahoitusinstrumentit ja pitkän aikavälin tarkastelun Vaatii sekä mallintamiskykyä (ihmiset) että laskentatehoa (tietokoneet) Pohja optiomatematiikassa

Stokastisia malleja 1 Perusmalli - geometrinen Brownin liike Diskreettinä Erityisesti osakkeille ja valuuttakursseille

Stokastisia malleja 2 Korkoinstrumenteille parempi esim. Usealle tekijälle (lyhyt ja pitkä korko) Virheenkorjausmalli

Historiallinen otanta Vaihtoehto stokastiselle hintaprosessille: satunnaisotanta takaisinpanolla historiallisesta datasta Ei vaadi mallioletuksia, mutta niitäkin voidaan halutessa sisällyttää Aikariippuvuudet häviävät, ja tarkasteluvälin valinta voi olla vaikeaa

Yhden tekijän mallin simulointi 1 Tuota tarvittavat satunnaisluvut (käänteisfunktiomenetelmä, hylkäysotanta) ja simuloi niillä arvopaperin/salkun arvo tarkasteluajan lopussa Toista N kertaa ja laske VaR suoraan histogrammista

Yhden tekijän mallin simulointi 2

Yhden tekijän mallin simulointi 3 Johdannaisille asetetaan riskitön korko prosessin keskiarvoksi ja diskontataan lopuksi (ei toimi amerikkalaisille optioille) Eksoottisetkin johdannaiset helppo simuloida, tosin laskentatehovaatimukset kasvavat Myös volatiliteetin muutokset (vega) simuloitavissa

Yhden tekijän mallin simulointi 4 Estimaatin keskivirhe Kirjassa 100 näytteellä 0.99 VaR keskivirhe 0.42 10 000 näytettä jo varsin riittävä määrä Nopeutusmenetelmiä: antiteettiset muuttujat, tärkeysotanta

Useampien tekijöiden mallit 1 Mikäli riskitekijät ovat riippumattomia, simulointi on yksinkertaista Korreloivia normaalijakautuneita satunnaislukuja  saadaan riippumattomista ~N(0,I)-muuttujista Choleski-hajotelman avulla

Useampien tekijöiden mallit 2 Muuntamalla =T saadaan kovarianssimatriisiksi Kahden muuttujan tapauksessa

Useampien tekijöiden mallit 3 Mikäli kovarianssimatriisin rangi < N, faktorisaatio ei toimi SVD, PCA Muista kuin normaalijakaumista vetäminen voi olla vaikeaa Hylkäysotanta, Markov-ketju Monte Carlo (MCMC)-menetelmät

Deterministinen simulointi 1 Satunnaislukujen tuottamisessa päämääränä ”täyttää” N-ulotteinen avaruus Voidaan tuottaa myös deterministisesti (esim. Sobol-jono) Saadaan yleensä tasaisempi peitto, mutta käyttökelpoisuus riippuu voimakkaasti mallista!

Deterministinen simulointi 2 Skenaariosimulointi: riskitekijöille asetetaan joukko diskreettejä arvoja ja niille todennäköisyydet (esim. binomijakaumasta) Tarvittaessa käytetään PCA:ta Approksimoidaan tiheysfunktio ja lasketaan VaR Jälleen käyttökelpoisuus riippuu tilanteesta

Yhteenveto Simulointi on tehokas tapa laskea VaR Olennaisinta prosessin mallintaminen, tai historiallisen datan oikea käyttö Laskentatehon kasvaessa simulointi-menetelmien käyttö yleistynee entisestään, ja saadut tulokset paranevat

Kotitehtävä Pohdi perusteluja riskitekijöiden normaalijakautuneisuusoletuksen puolesta ja vastaan sekä simuloinnissa että yleensä.