Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE1110 SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA 15.AALTOYHTÄLÖT

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 2 / 11 Maxwellin yhtälöt lähteettömässä yksinkertaisessa ei-johtavassa väliaineessa  Lähteetön ->  = 0 ja J S = 0  Yksinkertainen -> lineaarinen, isotrooppinen ja homogeeninen  Ei-johtava ->  = 0  Ominaisuuksia kuvataan permittiivisyyden  ja permeabiliteetin avulla  Faradayn laki(1a) Ampèren laki(1b) Gaussin laki(1c) Magn. kenttä lähteetön(1d) SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 3 / 11 Maxwellin yhtälöt lähteettömässä yksinkertaisessa ei-johtavassa väliaineessa Yhtälöt ovat kahden muuttujan (E, H) ensimmäisen asteen diff. yhtälöitä -> voidaan yhdistää joko E:n tai H:n toisen asteen diff. yhtälöksi. Otetaan roottori yhtälön (1a) molemmilta puolilta: Huomioidaan yhtälön (1b) sisältämä tieto: Vektorimatematiikassa on todistettu, että SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 4 / 11 Homogeeniset vektoriaaltoyhtälöt Koska kysymyksessä on lähteetön alue (1c) Saa yhtälö muodon Kun otetaan huomioon, että nopeudelle on voimassa yhtälö Vastaavasti: SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 5 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Sinimuotoinen suure esitetään kolmen eri muuttuja avulla Esim. RLC-sarjakytkentäpiirissä kulkeva virta ? Vaikeahko ratkaista matemaattisesti.  suuruus tai huippuarvo (amplitudi),  taajuus ja  vaihekulma SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 6 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Siirrytään käyttämään eksponentiaalimuotoa jännitteestä ja virrasta missä Nyt: SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 7 / 11 Jatkuvan tilan sinimuotoinen vaihtosähkö piirianalyysissä Tällöin ratkaistava yhtälö saadaan muotoon Palaaminen aikatasoon tapahtuu kertomalla ratkaisu î sk e j  t :llä ja ottamalla kompleksiluvusta reaaliosa. Jos jännite on annettu muodossa e (t ) = ê sin  t, ratkaisu etenee muuten samoin, mutta siirryttäessä aikatasosta taajuustasoon otetaan imaginaariosa kompleksiluvusta e j  t SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 8 / 11 Aikaharmoniset sähkömagneettiset kentät Kenttävektorit, joiden suuruus riippuu paikkakoordinaatista ja jotka ovat sinimuotoisesti ajasta riippuvaisia, voidaan esittää vektoriosoittimina, joiden suuruus on paikasta riippuvainen, mutta ei ajasta Esimerkiksi cos-funktiota noudattava aikaharmoninen sähkökenttä E Tällöin: SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 9 / 11 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Näin ollen aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt voidaan esittää yksinkertaiselle väliaineelle kenttävektoriosoittimien (E, H ) ja lähdeosoittimien ( , J ) avulla: Faradayn laki(2a) Ampèren laki(2b) Gaussin laki(2c) Magn. kenttä lähteetön(2d) SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 10 / 11 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt lähteettömässä ei- johtavassa väliaineessa Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt lähteettömässä (  = 0 ja J =0 ) ei- johtavassa  = 0  väliaineessa: Faradayn laki(3a) Ampèren laki(3b) Gaussin laki(3c) Magn. kenttä lähteetön(3d) SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 11 / 11 Homogeeniset Helmholzin vektoriaaltoyhtälöt lähteettömässä ei-johtavassa väliaineessa Aaltoluku: SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka 12 / 11 Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt johtavassa väliaineessa Jos väliaine on johtava  ≠ 0  siihen muodostuu myös virran tiheys J =  E => Kompleksinen permittiivisyys Aaltoluku: SATE / mv

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE / mv13 / 13 Häviokerroin tan  c ja häviökulma  c Häviökerroin Hyvä johde: Hyvä eriste: Sama väliaine voi olla hyvä johde pienillä taajuuksilla, mutta häviollinen eriste suurilla taajuuksilla (esim. kostea maa)!