MAB8: Matemaattisia malleja III

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

Funktiot sini, kosini ja tangentti

Advertisements

MB 3 Lineaarisia polynomifunktioita

MAB8: Matemaattisia malleja III

Nopeudesta ja kiihtyvyydestä

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Kuperan linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

Analyyttinen geometria MA 04

Nopeus s t v nopeus = matka: aika v = s :t

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Geometria MA 03 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys

Graafisen esityksen laatiminen taulukkolaskentaohjelmalla (excel 2013)

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät

Valitse seuraaviin vaihtoehtotehtäviin oikea vastaus…

Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

Graafisen esityksen laatiminen taulukkolaskentaohjelmalla (excel 2007)

1.2. Perusyhteydet ja –kaavat Suplementtikulmat x ja  - x

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

Janan keskinormaali A A ja B ovat janan päätepisteet ja M sen keskipiste. M Janan keskinormaali on kohtisuorassa janaa vastaan sen keskipisteessä. AM =

LINEAARINEN MUUTOS JA KULMAKERROIN

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

3.1.2 Skalaaritulo eli pistetulo

Murtoyhtälöt - Yhtälö, jossa nimittäjässä tuntematon

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

UMF I Luento 7. Viime kerralta Lue II.5 ja II.6. Lause II.5.1 tapauksessa f(x,y) = (x, sin(y)) ja g(x, y) = (cos(x), y). Voit lähettää epäselvistä kohdista.

Algoritminen ajattelu

Orgaanisia molekyyleja Chemsketchillä

1. Usean muuttujan funktiot

Vektorin komponentit 2 vektoria määrittävää tason, kun E.1.

Koveran linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus.

3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

2.2.2 Avaruuden vektori koordinaatistossa

KESKIVIIKKO KOTITETEHTÄVÄT. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

4. Optimointia T

Negatiiviset luvut. Esimerkki 1 Järjestä talven matkakohteiden lämpötilat kylmimmästä lämpimimpään.

S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Jussi Kangaspunta Optimointiopin seminaari - Kevät 2007 Kaksiulotteiset kuvaukset 2/2.

Suoran yhtälön muodostaminen

Kotitehtävän 21 ratkaisu Ensimmäisen havaintoaineiston luokittelu – Ryhmäkeskiarvot hakeutuvat niin, että ryhmään kuuluvat pisteet ovat mahdollisimman.

2.1.2 Tason vektori koordinaatistossa

2. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Pinta-alan käsite Kirja, sivut

Paraabelin huippu Paraabelin huippu

Suora Suorien leikkauspiste Yhtälöparin ratkaisu

3.3. Käyrän tangentti ja normaali

3.1. SOVELLUKSIA, pinta-ala

Neperin luku e ja funktio y = ex

Luonnollisen logaritmifunktion derivaatta

Suorien leikkauspiste

Vektorit Trigonometria

1.Peruskäsitteitä vektoreista

MATEMAATTISIA MALLEJA I Mab 3 Meri Sirkeinen Siikajoen lukio.

Automaattisesti tarkastettavat verkkotehtävät ja dynaamisen geometrian sovellukset Matti Pauna Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos.

Syventävä matematiikka 2. kurssi

3 Suureyhtälöt Fysiikan tehtävän ratkaisu:

Stabiilit monistot ja kriisit

Orgaanisia molekyyleja Chemsketchillä

Algoritminen ajattelu

1.4.2 Vektorien määräämä avaruus

Kuutio 2. Geometrisia kuvioita

Kvanttimekeaaninen atomimalli

YHTÄLÖPARI 1.1. Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä

Hypotenuusa Muistathan, että hypotenuusa on suorakulmaisessa kolmiossa

PAIKANMÄÄRITYS III Trigonometriset menetelmät

Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Koordinaatistot Sähkötekniikka/MV

Vektori A ja skalaari A Vektoria merkitään konekirjoitetussa tekstissä joko vahvennetulla vinolla suurekirjasimella (A) tai vinon suurekirjaimen päällä.

Esityksen transkriptio:

MAB8: Matemaattisia malleja III Vektorit kolmiulotteisessa koordinaatistossa

Kolmiulotteinen koordinaatisto Määritellään kolmiulotteinen koordinaatisto siten, että x-akseli on vasemmalle alaviistoon, y-akseli on oikealle ja z-akseli on ylöspäin.

Kolmiulotteinen koordinaatisto Harjoitus: Määritä särmiön kärkipisteiden koordinaatit Ratkaisu:

Kolmiulotteinen koordinaatisto Harjoitus: Määritä särmiön kärkipisteiden koordinaatit Ratkaisu: A(3,0,0) E(3,0,7) B(3,5,0) F(3,5,7) C(0,5,0) G(0,5,7) D(0,0,0) H(0,0,7)

Kolmiulotteinen koordinaatisto Harjoitus: Piirrä piste A(-3,5,-7) xyz-koordinaatistoon. Ratkaisu:

Kolmiulotteinen koordinaatisto Harjoitus: Piirrä piste A(-3,5,-7) xyz-koordinaatistoon. Ratkaisu:

Vektorin komponenttiesitys Mikäli tunnetaan loppupiste (x,y,z), niin yksikkövekto-reiden i, j ja k avulla voidaan lausua vektori a: Vektoria a voidaan myös kutsua paikkavektoriksi.

Vektorin pituus Vektorin pituus

Paikkavektori Esimerkki: Päättele kuviosta vektorin loppupiste (x,y,z) ja ilmoita paikkavektori ja vektorin pituus Ratkaisu:

Paikkavektori Esimerkki: Päättele kuviosta vektorin loppupiste (x,y,z) ja ilmoita paikkavektori ja vektorin pituus O Ratkaisu: Piste A(-3,-6,-8) A

Vektori AB Olkoon A ja B vektorin alku- ja loppupiste xyz-koordinaatistossa. Tällöin pisteiden A ja B välinen vektori

VEKTORI AB Esimerkki: Mikä on pisteiden A(3,5,7) ja B(6,-1,3) välinen vektori. Entä pituus? Piirrä kuvio. Ratkaisu:

VEKTORI AB Esimerkki: Mikä on pisteiden A(3,5,7) ja B(6,-1,3) välinen vektori. Entä pituus? Piirrä kuvio. Ratkaisu:

Pistetulo Vektoreiden ja pistetulo

Pistetulo Esimerkki: Laske vektoreiden a ja b pistetulo, kun ja Ratkaisu:

Pistetulo Esimerkki: Laske vektoreiden a ja b pistetulo, kun ja Ratkaisu:

Vektoreiden välinen kulma Esimerkki: Laske vektoreiden ja välinen kulma. Ratkaisu:

Vektoreiden välinen kulma Esimerkki: Laske vektoreiden ja välinen kulma. Ratkaisu: