3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ

Esitys aiheesta: "3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ"— Esityksen transkriptio:

1 3.1. DERIVAATAN MÄÄRITELMÄ
Kirja, E.1. s. 62 – 63 Erotusosamäärä (EOM) Funktion y = f(x) erotusosamäärä kohdasta x0 kohtaan x (x0 ¹ x) on

2 E.1. Laske funktion f(x) = x2 + 2x erotusosamäärä a) kohdasta 1 kohtaan 2 b) kohdassa 3.

3 3.1.2. Tangentin kulmakerroin. Derivaatta
Kirja, s

4

5 Derivaatan määritelmä
Funktion f(x) derivaatta kohdassa x0 f ´(x0) = eli kohdassa x0 lasketun EOM:n raja-arvo raja-arvon ollessa olemassa, on funktio f derivoituva kohdassa x0

6 Jos EOM:llä vain oikeanpuoleinen (vasemmanpuoleinen) raja-arvo, niin f on
kohdassa x0 oikealta (vasemmalta) derivoituva. Merkinnät f’ (x0+) [f ’ (x0-) ] Derivaatan määritelmä voidaan kirjoittaa myös muotoon

7 E.2. Mikä on funktion f(x) = x2 + 2x + 3 kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin?

8 E.3. Olkoon f(x) = x2 - 3x. Laske f ‘ (1)

9 3.1.3. Derivoituvuus ja jatkuvuus
Olkoon funktio määritelty jollakin välillä I. Sanomme että f on derivoituva välillä I, jos se on derivoituva välin jokaisessa kohdassa. Lause Derivoituva funktio on aina jatkuva (jatkuvuus on derivoituvuudelle välttämätön ehto, mutta ei riittävä)

10 f(x) = x2 f ’(x) = 2x 3.1.4. Derivaattafunktio Kirjan E.1., s 69
Määritä funktion f(x) = x2 derivaatta kohdassa a) -2 b) 1 c) ½ d) x0 d ensin: f(x) = x2 f ’(x) = 2x

11 E.4. (t. 168) Laske kahta erotusosamärän eri muotoa käyttäen funktion
derivaatta   kun h  0

12 Derivaattafunktio f’ on funktio, jonka arvot ovat annetun
funktion f derivaatan arvoja kaikilla kohdilla x Derivoiminen = derivaattafunktion (*derivaatta) muodostaminen Merkintöjä: f’ , Df, df/dx, y’, dy/dx (ks. E.2. s.70) Vakiofunktion derivaatta Dc = 0 Identtisen funktion derivaatta D(x) = 1 ks. E.3. kirja s. 71

13 3.1.5. Korkeamman kertaluvun derivaatat
Toisen kertaluvun derivaatta f ’’ ”derivoidaan derivaattafunktio” Yleisesti:

14 Kirjan esimerkki 1, s. 72