Polynomifunktiot MA 02 Läsnäolovelvollisuus Poissaolojen selvitys Käyttäytyminen Tuntiaktiivisuus Kotitehtävien tekeminen Tunnit muodostavat n. 50 % matikan oppimisesta

Ennakkoluulojen ravistelua Kuka vihaa matematiikkaa? Matikkaa tarvitaan vain koulussa En voi osata matematiikkaa, kun äitikään ei osaa Matematiikan kokeisiin ei voi lukea Matematiikasta ei ole konkreettista hyötyä

Lukujoukot Luonnolliset luvut Kokonaisluvut Rationaaliluvut Irrationaaliluvut Reaaliluvut

Etäisyys lukusuoralla Mitä tarkoittaa luvun itseisarvo? Luvun itseisarvo on luvun etäisyys nollasta Merkitään |a|

Esim.

Itseisarvon määritelmä s. 12

Ovatko väitteet tosia?

1. asteen epäyhtälö Ratkaistaan samalla tavalla kuin normaali ensimmäisen asteen yhtälö, mutta jos jaetaan tai kerrotaan negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön suunta muuttuu Esim. jos epäyhtälö -6 < 12 kerrotaan tai jaetaan luvulla -2, niin kuinka käy?

Esim. Ratkaise epäyhtälö

Funktio Esim. Jarrutusmatka on suoraan verrannollinen nopeuden neliöön. Muodosta funktio, missä jarrutusmatka s saadaan nopeuden v avulla. s = kv2 Yleensä funktiota merkitään f(x) tai g(x) Esim. funktio f(x) = 30 + 0,30x voisi ilmoittaa, että auton vuokra maksaa 30e päivä ja 0,30e kilometriltä

Funktio Esim. f(x) = 5 + 3x Laske f(10) Mitkä ovat funktion nollakohdat? Laske milloin f(x) = 5 +3x = 0 Miten piirrän funktion kuvaajan? (Laskimella ja ilman) Miten kuvaajasta näkee funktion nollakohdat? nollakohdat ovat kuvaajassa x-akselin leikkauspisteitä

Funktion kuvaaja

Funktion määrittelyjoukko Funktion määrittelyjoukko tarkoittaa niitä x:n arvoja, joita funktioon voidaan syöttää Esim. f(x) = 5 + 3x on määritelty kaikilla x:n arvoilla eli määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko

Funktion määrittelyjoukko Esim. Laske funktion määrittelyjoukko Piirrä kuvaaja Laske funktion nollakohta

Polynomilaskennan kertaus ja täydennys Esim. 4. asteen polynomi Yleisesti ottaen kaikki polynomifunktiot ovat määritelty kaikilla reaaliluvuilla

1. asteen polynomi on suora y = kx + b Milloin suora on nouseva kun kulmakerroin k>0 Milloin suora on laskeva kun kulmakerroin k<0

Polynomien summa ja erotus Kertaa s. 37 - 39

Polynomien tulo Esim.

Yhteisen tekijän ottaminen Jotta yhtälön ratkaisu tai supistaminen onnistuu, niin polynomeista monesti halutaan etsiä yhteisiä tekijöitä Esim. Etsi yhteiset tekijät

Polynomien jakolasku Vaatii monesti yhteisen tekijän ottamisen Esim.

Polynomien tulo Jokaiselle termillä kerrotaan jokainen kerrottava. Esim.

Summan ja erotuksen tulo

Esim.

Esim. Tekijöihin jako Jaa tekijöihin ja supista

Summan neliö

Esim.

Erotuksen neliö

Esim.

Muistikaavat

Neliöksi täydentäminen Pyritään saamaan muistikaava lisäämällä jokin sopiva termi Esim.

2. asteen funktio ja yhtälö f(x) = ax2 + bx +c Kuvaaja paraabeli Kuvaaja symmetrinen huipun suhteen Nollakohdat ovat x-akselin leikkauspisteitä Nollakohdat Huippu

Paraabelin aukeamissuunta f(x) = ax2 + bx +c Kun a > 0, niin paraabeli aukeaa ylöspäin

Paraabelin aukeamissuunta f(x) = ax2 + bx +c Kun a < 0, niin paraabeli aukeaa alaspäin

Esim. Piirrä funktio f(x) = f(x) = x2 - x - 2 Mitkä ovat funktion nollakohdat? Missä pisteessä on kuvaajan huippu? Piirrä myös laskimella, jos moinen laskin on ja tarkista laskimesta samat asiat

2. asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä ax2 + bx +c Ratkaisuja eli nollakohtia eli juuria voi olla kaksi yksi ei yhtään

Esim. Ratkaise yhtälö

2. asteen yhtälön ratkaisukaava ax2 + bx +c = 0

Esim. Ratkaise yhtälö

Sovelluksia Kultainen leikkaus eli kultainen suhde saadaan, kun jana jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. Lue lisää: http://fi.wikipedia.org/wiki/Kultainen_leikkaus

Esim. Kirjan tai rakennuksien muoto noudattaa likipitäen kultaisen leikkauksen ideaa. Navan korkeus antiikin kreikan kauneusihanteen mukaan

2. asteen epäyhtälö Milloin vuorokauden lämpötila on korkeampi kuin 0 astetta. Entäs pakkasen puolella.

Esim.

Diskriminantti ja ratkaisujen lukumäärä 2. asteen yhtälöllä voi olla kaksi, yksi tai ei yhtään ratkaisua.

Ratkaisujen lukumäärä nähdään ratkaisukaavan diskriminantista Kun D>0, niin yhtälöllä on kaksi ratkaisua Kun D=0, niin yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu Kun D<0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Tulon nollasääntö Esim. ratkaise yhtälö 2x2 + 2x = 0

Tulon nollasääntö Esim. Ratkaise yhtälö (x - 2)4(6x +2)(x-3)=0

Korkeamman asteen yhtälöt Esim.

Korkeamman asteen epäyhtälöt Piirrä kuvaaja, jos mahdollista. (Laskimella). Ratkaise korkeamman asteen nollakohdat Tee ns. merkkikaavio Katso merkkikaaviosta (ja tarkasta kuvaajasta) epäyhtälön ratkaisut Esim.

Nollakohtien ja tekijöiden yhteys