MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään

Vieruskulmien summa 180° Muodostavat yhdessä oikokulman 180°- 50°=130° 50°

Samankohtaiset kulmat Kun suora leikkaa kahta yhdensuuntaista suoraa, ovat samankohtaiset kulmat yhtä suuret

Vieruskulmien summa = 180° 180 - α α α

Kolmion kulmien summa=180° Nelikulmion kulmien summa = 360°

Tasakylkinen kolmio a Tasasivuinen kolmio Kyljet yhtä pitkiä Kantakulmat yhtä suuria Korkeusjana puolittaa kannan Korkeusjana puolittaa huippukulman 60° Tasasivuinen kolmio Kaikki sivut yhtä pitkiä Kaikki kulmat 60° Katso taulukkokirjasta tasakylkisen kolmion kaavoja

Yhdenmuotoisuus Yhdenmuotoisten kuvioiden mittasuhteet ovat samat ja vastinkulmat yhtä suuret Vastinjanojen suhde on vakio ja sitä sanotaan mittakaavaksi Vastinjanoista saadaan verranto 6 4 x 3

Vastaus: Puun pituus on 18 m Aurinko paistaa puuhun ja keppiin samassa kulmassa. Kolmiot yhdenmuotoiset. x 1,5 m 31 m 2,6m Vastaus: Puun pituus on 18 m

a b c d e f Janat a ja d ovat yhdensuuntaisia Miksi kolmiot yhdenmuotoisia? Jos a ja d yhdensuuntaisia, niin syntyy samankohtaisia kulmia Vastikulmat yhtä suuria Vastisivuille verrannot:

sivu 18 x Vast. 120m

sivu 18 151 151-x x 302 Vast. 101 cm siitä reunasta, jolta puolelta laukaistaan

Auto on 5882 m päässä katsojasta Auto on 5882 m päässä katsojasta. Sen etuvalot ovat 2 m päässä toisistaan. Kuinka kaukana valojen kuvat ovat verkkokalvolla, jos silmamunan koko on 23 mm? 0,023 m R=5882 m x d=2 m

ALOJEN SUHDE ON Sivujen suhteen neliö Mittakaavan neliö 1 3 Sivujen suhde = 1 : 3 Alojen suhde = 1 : 9

Kuinka paljon pituudeltaan 170 cm tarvitsee kangasta enemmän kuin pituudeltaan 152 cm? Kangasta tarvitaan alojen suhteessa Alojen suhde = mittakaavan neliö V: pitempi tarvitsee 1,25 kertaa enemmän kangasta

Mittakaava Kuva Luonto 1 : 20 000 (kartta) kerto jako 1 cm 20000cm 1 : 20 000 (kartta) kerto jako 1 cm 20000cm 4,5 cm 20000·4,5 cm = 90 000 cm = 900 m

Kuinka monta % pikkuympyröiden alojen summa on ison ympyrän alasta? pikkuympyrän säde = R ison ympyrän säde = 3R säteiden suhde = 1:3 Pituuksien suhde 1:3 Alojen suhde 1:9  Jos pikkuympyrä on A, niin ison ala on 9A

Yhdenmuotoisuus:Tiivistelmä Jos kuvioa tai kappaletta suurennetaan tai pienennetään, saadaan yhdenmuotoinen kuvio, Tasokuviot yhdenmuotoisia  vastinkulmat yhtä suuria Mittakaava = vastisivujen suhde = suurennus/pienennys-suhde Pinta-alojen suhde = mittakaavan neliö vastisivujen suhteen neliö Tilavuuksien suhde = mittakaavan kuutio vastinsivujen suhteen kuutio

Tilavuuksien suhde = vastinsivujen suhteen kuutio (mittakaavan kuutio eli kolmas potenssi) Jos pieni patsas painaisi 21 tonnia, kuinka paljon painaisi iso patsas? Ratk.: Painojen suhden on sama kuin tilavuuksien suhde, koska patsaat ovat samaa ainetta (kiveä)

Pythagoraan Lause Suorakulmaisessa kolmiossa on kateettien neliöiden summa yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö Huom! Jos kolmio ei ole suorakulmainen piirrä korkeusjana Huom! Etsi ensimmäisenä hypotenuusa (pisin)

Esimerkki Hyp 2,3 cm 4,2 cm x Vastaus: 4,8 cm

Esim. Laske oheisen suorakulmaisen kolmion sivun x pituus Pythagoras  Hyp 23,0 cm 19,0 cm x x Vastaus: 13,0 cm

Piste A on (-2,1) ja piste B on (5,-4) Piste A on (-2,1) ja piste B on (5,-4). Laske pisteiden välisen etäisyyden tarkka arvo ja likiarvo A 7 5 d=? B

Suorakulmaisessa kolmiossa Trigonometria Suorakulmaisessa kolmiossa (jos kolmio ei ole suorakulmainen, piirrä korkeusjana)

Trigonometriset funktiot Katso ensin hypotenuusa = pisin sivu hypotenuusa vast α vier

Harjoittelua A B C 5 4 3

Esimerkki sivun laskemisesta x 5m Vast. 9,4 m

Esimerkki sivun laskemisesta 32,6 cm x Vast. 46,9 cm

Kulman laskeminen  käänteisfunktion avulla

Laske kolmion pinta-ala korkeuden avulla 130° h=? α=50° α = 180°-130° = 50°

Laske kolmion pinta-ala suoraan kaavalla 130° Taulukkokirjassa on sivulla 29 valmis kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi, jossa on kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma.

GPS,Asteet, minuutit ja sekunnit 1° = 60 kulmaminuuttia = 60’ ( 1 kulmaminuutti = 1’ = 60 kulmasekuntia = 60” mutta GPS:ssä ei yleensä käytetä kulmasekunteja) Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27° 15’ 15 ’ = 15 / 60 astetta = 0,25° 27° 15’ = 27,25° Laskimella ei käytetä minuutteja: sin 27° 15 ‘ = sin 27,25° ≈ 0,45787 35.125’ = 35,125/60 astetta = 0,5854166°

Kompassin suuntalukemat W=270° E=90° S=180°

Ympyrän osat (kehä, ympärysmitta) Kaari

Ympyrän säde on 8,50 cm. Mikä on 72° keskuskulmaa vastaavan jänteen pituus? Kulma  trigonometria x 8,50 cm V: Jänne on 9,99 cm

Ympyrän säde on 8,50 cm. Mikä on 72° keskuskulmaa vastaavan segmentin pinta-ala? Kulma  trigonometria  Jänne = 9,99 cm Segmentti = sektori - kolmio Segmentin ala = 45,396 cm2 - 34,348 cm2 =11 cm2

Faroksen majakka oli 140 m korkea Kuinka kauas majakan valo näkyi? Majakan huippu keskipisteestä 6370 +0,140 km = 6370,14 km 0,140 km 6370 km b Vastaus: 42 km päähän

Tangenttikulma ja keskuskulma Tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan

Tehtävä Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 72º kulmassa. Mikä on aluksen korkeus maanpinnasta.? x Etäisyys maasta on 10837-6370 = 4467 Vastaus 4500 km

”TÖRPÖT” (LIERIÖ) Kansi ja pohja ovat samanlaisia TILAVUUS = POHJAN ALA • KORKEUS VAIPAN ALA = POHJAN PIIRI • KORKEUS

”SUIPOT” (kartiot, pyramidit) Tilavuus =

Kartio R h s

Kartion sivujana on 3,2 cm ja pohjan säde 1,8 cm. Kuinka suuri on kartion vaipan ala ja kartion tilavuus? S=3,2 cm r = 1,8 cm h Vaippa = π·1,8cm·3,2cm=18 cm2 1,8 2 + ℎ 2 = 3,2 2

Pallo R

Asteet, minuutit ja sekunnit 1° = 60 kulmaminuuttia = 60’ ( 1 kulmaminuutti = 1’ = 60 kulmasekuntia = 60” ) Esim. Muuta desimaalimuotoon (asteiksi) 27° 15’ 15 ’ = 15 / 60 astetta = 0,25° 27° 15’ = 27,25° sin 27° 15 ‘ = sin 27,25° ≈ 0,4579

N Kulma AOB = 150° O AB ≈ 16 700 km V: 16 700 km S Mikä on matka A ja B välillä, jos ne ovat samalla pituuspiirillä (meridiaanilla). A on 70° pohjoista leveyttä ja B 80° eteläistä leveyttä? Maan säde 6370 km S B 80° eteläistä leveyttä 0° A 70° pohjoista leveyttä N O Kulma AOB = 150° AB ≈ 16 700 km V: 16 700 km

Vastaus: Etäisyys on 8 000 km Laske Helsingin ja Tokion etäisyys. Maapallon ympärysmitta on 40 000 km. Helsinki ja Tokion välinen kaari on 72 astetta. Helsinki x=? Tokio Vastaus: Etäisyys on 8 000 km Tai säteen avulla: