5. Fourier’n sarjat T055303

5.1 Alustavia määrittelyjä Olkoon K seuraavassa reaalilukujen joukko R tai kompleksilukujen joukko C. Funktio f : K  K on jatkuva, kun T055303

Funktio f on paloittain jatkuva välillä [a, b ], jos se on määritelty ko. välin jokaisessa pisteessä ja sillä on korkeintaan äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia. T055303

Tärkein paloittain jatkuva funktio on kanttiaalto. Epäjatkuvuuskohdissa tulee funktion vasemman ja oikeanpuoleisten raja-arvojen olla äärellisiä. Tärkein paloittain jatkuva funktio on kanttiaalto. T055303

T055303

Funktio f on jaksollinen, jos f (x ) = f (x + T ) Esimerkki 1. Mikä on seuraavien funktioiden jakso? T055303

T055303

T055303

T055303

T055303

T055303

Funktio f on pariton, kun f (-x ) = - f (x ) Funktio f on parillinen, kun f (x ) = f (-x ) T055303

Mitkä edellisistä funktioista ovat parillisia tai parittomia? Esimerkki 2. Mitkä edellisistä funktioista ovat parillisia tai parittomia? T055303

Osoittautuu, että trigonometristen funktioiden parillisuuden ja parittomuuden hahmottaminen on erilaisten signaalien matemaattisen esittämisen kannalta tärkeää. T055303

T055303

Sinifunktio on pariton ja kosinifunktio on parillinen Sinifunktio on pariton ja kosinifunktio on parillinen. Ne ovat myös jaksollisia: jaksona on 2 T055303

Funktio f on diskreetti, jos f on määritelty vain reaaliakselin tai kompleksitason erillisissä pisteissä. T055303

5.2 Yleistä Fourier-sarjoista Aikaisemmin on havaittu, että monissa tapauksissa funktion f esittämiseen voidaan käyttää potenssisarja-kehitelmää T055303

Ns. kantafunktioiksi on siis valittu 1, x, x 2, … Tekniikan ongelmia analysoitaessa kantafunktioiksi otetaan sopivasti valitut trigonometriset funktiot, jolloin saadaan sarjakehitelmäksi T055303

T055303

5.3 Täsmällinen määrittely Seuraavat ehdot ovat tärkeitä Fourier-sarjan suppenemisen kannalta. Olkoon f : R  K jaksollinen reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka jakso on T. T055303

Sanotaan, että funktio f toteuttaa ns Sanotaan, että funktio f toteuttaa ns. Dirichlet’n ehdot välillä [-T/2, T/2], jos seuraavat ehdot toteutuvat: T055303

1. Funktio f on paloittain jatkuva ja korkeintaan äärellinen määrä paik. ääriarvokohtia.

Lause. Olkoon f jaksollinen funktio, joka toteuttaa Dirichlet’n ehdot. Tällöin funktion f Fourier-sarja on muotoa T055303

T055303

ja ko. sarja suppenee kaikilla t :n arvoilla. Huom. Omegalle voidaan antaa fysikaalinen tulkinta: kulmataajuus. T055303

Määritä seuraavan jaksollisen signaalin Fourier-sarjaesitys. Esimerkki 3a. Määritä seuraavan jaksollisen signaalin Fourier-sarjaesitys. T055303

T055303

Esimerkki 3b. Määritä seuraavan signaalin Fourier-sarjaesitys. Ohje: Etsitään signaalin määrittelemä funktio ensin yhden jakson mittaisella välillä. T055303

T055303

T055303

T055303

Kokoaaltotasasuuntaus: f (t ) = | sin t | Esimerkki 4. Kokoaaltotasasuuntaus: f (t ) = | sin t | Määritetään sen Fourier-sarja. T055303

T055303

Jos funktio f toteuttaa Dirihclet’n ehdot, niin mikäli Lause. Jos funktio f toteuttaa Dirihclet’n ehdot, niin mikäli - f on parillinen, F-sarjasta jää pois sinitermit, - f on pariton, F-sarjasta puuttuvat kosinitermit. T055303

Sarjan muita termejä kutsutaan harmoniksiksi komponenteiksi. Fourier-sarjassa termi a0 / 2 on funktion f (t ) keskiarvo ja sitä kutsutaan tasakomponentiksi. Sarjan muita termejä kutsutaan harmoniksiksi komponenteiksi. T055303

Yleensä ensimmäiset termit vaikuttavat kokonaisuuteen enemmän. Kertoimet an ja bn ilmoittavat, miten suuri vaikutus kullakin taajuuskomponentilla on kokonaisuuteen. Yleensä ensimmäiset termit vaikuttavat kokonaisuuteen enemmän. T055303

Funktioita sin (kt) ja cos (kt) sanotaan harmonisiksi monikerroiksi.

Lisää F-sarjan laskemisesta Lause. Olkoon f (t ) T-jaksoinen integroituva funktio ja c  R. Tällöin T055303

Tulos sallii funktion nostamisen ”helpompaan asemaan”. Huom. Ainoastaan kerroin a0 on laskettava alkuperäisestä funktiosta!!! T055303

Määritä seuraavan sakarapulssin Fourier-sarja. Esimerkki 5. Määritä seuraavan sakarapulssin Fourier-sarja. T055303

T055303

5.4 F-sarjan eksponenttimuoto Eulerin kaavan avulla jaksollisen funktion f Fourier’n sarjalle voidaan saattaa esitys T055303

missä T055303

Kompleksisen Fourier-sarjaesityksen ja Fourier-sarjan trigonometrisen esitysmuodon välillä on seuraava yhteys: T055303

T055303

Kertoimet c-k tulee nähdä apuvälineinä, joita ilman matemaattinen esitys on mahdoton. Reaalimaailman kannalta oleellinen informaatio nähdään kertoimista ck . T055303

Parittomilla funktioilla ko. kertoimet ovat puhtaita imaginaarilukuja. Parillisilla funktioilla kompleksiset Fourier-kertoimet ovat puhtaita reaalilukuja. Parittomilla funktioilla ko. kertoimet ovat puhtaita imaginaarilukuja. T055303

5.5 Yhteenvetoa Jaksollisen funktion f(t) F-sarja voidaan esittää seuraavasti T055303

Tarkastellaan jaksollista funktiota välillä [0, T]. Esimerkki 4. Tarkastellaan jaksollista funktiota välillä [0, T]. T055303

Määritä sen Fourier-sarja.

5.6 Fourier-analyysistä Jaksollisen funktion kompleksisen Fourier-sarjan termien kertoimet ck muodostavat kyseisen funktion spektrin. Spektri kuvaa funktiota aika-alueen sijasta taajuustasossa. T055303

Muuttujana on siis taajuus. Spektrin sisältämä informaatio jaetaan kahteen osaan käsittelemällä erikseen amplitudia |ck| ja vaihetta . T055303

Esimerkki 5. Tutkitaan seuraavaa sakarapulssijonoa ja määritetään sen kompleksiset Fourier-kertoimet. Havainnollista spektriä. T055303

T055303

5.7 Parsevalin yhtälö Oletetaan, että funktiolla f on komp-leksinen Fourier-sarjaesitys. Tällöin voidaan johtaa ns. Parsevalin yhtälö, joka voidaan esittää myös reaalisten Fourier-kertoimien avulla: T055303

T055303

Mikäli jaksollisen funktion jännitteen tai virran Fourier-kertoimet ovat tiedossa, pystytään Parsevalin yhtälön avulla laskemaan ko. suureiden teho näitä kertoimia käyttämällä. T055303

Funktion neliön keskiarvoa kutsutaan signaalin keskimääräiseksi tehoksi.

Parsevalin yhtälö merkitsee siis sitä, että jaksollisen signaalin keskimääräinen teho on signaalin harmonisten komponenttien keskimääräisten teho-jen summa. T055303

Kertoimien |ck|2 avulla voidaan esittää tehospektri.

Määritetään signaalin f(t) = 0.5+sin t +0.3cos t + 2.5 sin 2t Esimerkki 6. Määritetään signaalin f(t) = 0.5+sin t +0.3cos t + 2.5 sin 2t keskimääräinen teho. T055303

Esimerkki 7. Määritetään jaksollisen funktion tehospektri. T055303

5.8 Tiivistelmä Signaalin spektri esitetään yleensä amplitudi-, vaihe- ja tehospektrien avulla. Jaksollisen signaalin spektrien määrittämisessä kannattaa käyttää Fourier-sarjan kompleksista esitysmuotoa. T055303

Jaksollisen signaalin spektri on usein diskreetti.