Langattomien laitteiden matematiikka 1 6. Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1

6.1 Yleistä Fourier-muunnoksista Fourier-sarjoja voidaan käyttää jaksollisten funktioiden esittämiseen. Jaksottomien funktioiden esittämiseen käytetään Fourier-muunnosta. Seuraavassa perustellaan, miksi Fou-rier-muunnosta käytetään sähköteknii-kassa erittäin runsaasti. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 1. Tutkitaan aluksi, miten taajuuden  pienentäminen vaikuttaa allaolevan kaltaisen funktion spektriin Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Taajuuden pienentyessä - pulssin sakarat etääntyvät toisistaan aika-alueessa - taajuusalueessa spektriviivat tihenevät Rajatapauksena saadaan jaksoton yksittäinen sakarapulssi. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Jaksottoman funktion spektri on usein jatkuva.(vrt. Fourier-sarjat…) Tästä seuraa se, että matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan summan sijasta integraali (summa on diskreetti)! Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 6.2 Fourier-muunnos Funktion f : R  K Fourier-muunnok-sella tarkoitetaan integraalia Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Fourier-muunnos on olemassa, jos integraali (F) suppenee. Fourier-muunnokselle käytännön tilanteissa riittävä ehto on, että seuraava integraali suppenee Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Fourier-muunnoksen käänteismuunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Usein Fourier-muunnokselle ja kään-teismuunnokselle käytetään merkintöjä: F () = F [f (t )] f (t ) = F -1 [F () ] Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Fourier-muunnos on yleisessä tapauk-sessa kompleksiarvoinen funktio ja määrittelee signaalin f (t ) jatkuvan spektrin. Muunnoksen itseisarvo |F ()| muo-dostaa amplitudispektrin ja vaihekulma arg(F ()) vaihespektrin. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 2. Määritetään seuraavanlaisen sakara-pulssin Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 3. Muodostetaan seuraavanlaisen signaalin määrittelemän funktion Fourier-muunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 4. Tarkastellaan seuraavaa lineaarista systeemiä. Olkoon tulosuure x (t ) ja lähtösuure y (t ). Oletetaan edelleen, että systeemiä kuvaa differentiaaliyhtälö Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Parsevalin yhtälö Jaksottoman signaalin tapauksessa keskimääräisen tehon käsite on mielekäs vain silloin, kun signaali häviää jonkin äärellisen välin [a, b] ulkopuolella. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Keskimääräisen tehon sijasta käytetään signaalin energian käsitettä. Se määritellään yhtälöllä Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Signaalin teho voidaan määrittää raja-arvona Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Jos 0 < P < ∞, sanotan signaalia tehosignaaliksi. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 5. Määritä suorakaidepulssin f (t ) energia ja teho, kun Langattomien laitteiden matematiikka 1

6.3 Erikoisfunktioiden F-muunnoksia Yksikköaskelfunktio määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 6. Mielivaltaisesta funktiosta voidaan yksikköaskelfunktiolla ottaa tarkasteltavaksi mikä tahansa osa. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Diracin deltafunktio Määritellään apufunktio, jonka tutkimi-sella voidaan perustella Diracin delta-funktion muoto ja olemassaolo. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Diracin deltafunktiolla tarkoitetaan funktiota , joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet: 1. (t ) = 0, kun t  0 2. Jos f on pisteessä t0 jatkuva funktio, niin Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Suure (t ) on itse asiassa distribuutio eli yleistetty funktio. Se ei siis ole reaalifunktio. Yksikköimpulssifunktion (t ) avulla voidaan muodostaa myös muita im-pulssifunktioita. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 7. Tutkitaan lauseketta Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Mikäli sovitaan, että havaitaan yksikköaskelfunktion ja yk- sikköimpulssifunktion yhteys: Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Ilman täsmällistä määrittelyä otetaan käyttöön distribuutioderivaatta Langattomien laitteiden matematiikka 1

6.4 Konvoluutio ja korrelaatio Konvoluutio on erittäin keskeinen käsite signaalin- ja kuvankäsittelyssä. Sen avulla on mahdollista laskea systeemin vaste, kun impulssivaste on tiedossa. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Konvoluution yksi parhaista ominaisuuksista on, että se muuntuu Fourier-muunnoksessa kertolaskuksi taajuusalueessa. Käydään läpi oppikirjan esimerkit. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Korrelaatiointegraali on hyvin paljon samankaltainen konvoluutiointegraalin kanssa: Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Ja Fourier-muunnos muuntaa korrelaation aikatasossa taajuustason kertolaskuksi Langattomien laitteiden matematiikka 1

7. Diskreetti Fourier-muunnos ja - sarja Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 7.1 Johdantoa Tiedon digitalisointi johtaa matematiikan osalta lukujonojen käsittelytekniikoiden painottamiseen. Digitaalisessa signaalinkäsittelyssä näytteenotto tuottaa diskreettejä funktioita eli lukujonoja, joita prosessoidaan esim. spektrin avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Palautetaan mieleen, että diskreetillä funktiolla eli lukujonolla tarkoitetaan funktiota, joka on määritelty vain erillisissä eli diskreeteissä pisteissä. Langattomien laitteiden matematiikka 1

7.2 Diskreetin F-sarjan määrittely Oletetaan, että diskreetti funktio x on N-jaksoinen ja x : Z  K. N-jaksoisen funktion x Fourier-sarja on Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Kertoimet ck saadaan määritettyä kaavasta Langattomien laitteiden matematiikka 1

7.3 Diskreetti F-muunnos (DFT) N-jaksoisen funktion x : Z  K disk-reetillä Fourier-muunnoksella tarkoi-tetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki 1. Laske jonon {1, 2, -5, 3} DFT. Esimerkki 2. Suorita edellisen esimerkin käänteismuunnos. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Huomataan, että kompleksiluvut X (k) ovat täsmälleen samat kuin funktion x(n) diskreetin F-sarjan kertoimet. Fourier-muunnokselle käytetään merkintää X (k) =DFT{x(n)} Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Diskreetille Fourier-muunnokselle voi-daan määritellä myös käänteismuun-nos. N-jaksoisen funktion x : Z  K disk-reetillä Fourier-käänteismuunnoksella tarkoitetaan kompleksilukujonoa Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Käänteismuunnokselle voidaan käyttää merkintää IDFT{X (k)} = X -1 (n) Langattomien laitteiden matematiikka 1

7.4 DFT:n soveltaminen käytäntöön Diskreetillä Fourier-muunnoksella on kätevää laskea konvoluutiota ja korrelaatiota. Täydennetään hieman teoriatietoja ja lasketaan muutamia esimerkkejä. Langattomien laitteiden matematiikka 1

7.5 Jonon Fourier-muunnos Eräänlainen välimuoto jatkuvan funkti-on Fourier-muunnoksen ja jaksollisen jonon diskreetin N pisteen muunnok-sen rinnalla on jonon Fourier-muun-nos. Se saadaan x:n diskreetin F-muunnok-sen ja käänteismuunnoksen avulla. Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Jonon x : Z  K Fourier-muunnos määritellään asettamalla Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Muunnos on kuvaus R  C. Se on olemassa, jos sarjan summa on äärellinen. Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1

Langattomien laitteiden matematiikka 1 Esimerkki. Määritä jonon x(n) Fourier-muunnos Langattomien laitteiden matematiikka 1