5. Lisää sovellettavuutta

Esitys aiheesta: "5. Lisää sovellettavuutta"— Esityksen transkriptio:

1 5. Lisää sovellettavuutta
5.1 Differentiaaliyhtälöt Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

2 Differentiaaliyhtälöistä
Differentiaaliyhtälöissä esiintyy funktioita ja niiden derivaattoja. Differentiaaliyhtälöt nimetään ker-taluvun mukaan 1., 2. ja korkeam-man asteen differentiaaliyhtälöiksi. Matematiikassa on tutustuttu lähin-nä vakiokertoimisiin yhtälöihin. Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

3 Differentiaaliyhtälön ratkaisu
Differentiaaliyhtälöt voidaan määritellä muuttujalausekkeina. Esimerkki. Olkoon tutkittava differentiaali-yhtälö y’’ – 3y = cos x. Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

4 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Kun yht1 muuttujaan on määritelty differentiaaliyhtälön lauseke, ratkaisu saadaan aikaan komennolla: > dsolve(yht1,y(x)); Komennon syntaksi on dsolve (yhtalo, y(x), lisäargumentit) Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

5 Alkuehdot toteuttava ratkaisu
Alkuehdot voidaan määritellä joko suoraan dsolve-komentoon tai sitten erikseen. Syntaksi on dsolve({yhtälö,alkuehto},{y(x)}, lisäargumentit); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

6 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Esimerkki. Ratkaise differentiaaliyhtälö y ’’+y =sin x+cos x alkuehdoilla y (0) = 1, y ’ (0) = 1. Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

7 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
>diffyht:=diff(y(x),x$2)+y(x)=sin(x)+cos(x); >alkuehto:=y(0)=1,D(y)(0)=1; >ratk:=dsolve({diffyht,alkuehto},{y(x)}); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

8 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
> f:=unapply(rhs(%),x); > eval(subs(ratk,diffyht)); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

9 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Huomioi, että viimeisellä rivillä itseasiassa suoritettiin ratkaisujen oikeellisuuden tarkistus. Ennen harjoitustehtäviin siirtymistä tarkastellaan vielä muutamia differentiaaliyhtälöihin liittyviä ratkaisumenetelmiä. Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

10 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Määritellään differentiaaliyhtälö ja alkuehdot ja ratkaistaan tehtävä: >diffyht:=diff(y(x),x$2)+y(x)=sin(x)+cos(x); >alkuehto:=y(0)=1,D(y)(0)=1; >ratk:=dsolve(diffyht,{y(x)}); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

11 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Edetään hieman toisin tavoitteena helppo graafinen havainnollistus parametrien vaikutuksesta: > yl:=subs(ratk,y(x)); > plot([seq(seq(yl,_C1=-1..1),_C2=1)],x=-3..5,y=-4..4); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

12 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Kuten käsinlaskennassakin alkuarvotehtävissä pitää määrittää vakioiden _C1 ja _C2 arvot: > g:=unapply(rhs(ratk),x); > r:=solve({g(0)=1,D(g)(0)=1}, {_C1,_C2}); > kokoratkaisu:=subs(r,op(g)); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

13 Sovellettu matematiikka 3 Jarkko Hurme
Eräs käyttömukavuuteen vaikuttava asia… > with(PDEtools,declare):declare(y(x), prime=x); Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme

14 5.2. Osittaisdifferentiaaliyhtälöistä
..sivuutetaan…jokin sopiva esimerkki voisi olla hyvä harjoitustyöaihe Sovellettu matematiikka Jarkko Hurme