1.a) f(x) = 2x(x2 – 3) = 0 2x = 0 tai x2 – 3 = 0 x = 0 tai x2 = 3 Anne: Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla b) f(x) = 2x(x2 – 3) = 2x3 – 6x f ’(x) = 6x2 - 6 Anne: Perusderivointi osattava – samoin sijoitus lausekkeeseen

1c) Anne: Käytä merkinnöissä sulkuja, perusintegrointi sijoituksineen osattava

2a. ) Määrittelyehto: a > 0 Anne: Voidaan ratkaista myös suoraan neliöjuurien avulla Neliöjuurta ei voi ottaa negatiivisesta luvusta

2b) Anne: Summan ja erotuksen tulo (a + b)(a – b) = a2 – b2 Hyvin tärkeä kaava, kuten usein olen sanonut c) 41005  52010  0,12010 = (22)1005  52010  0,12010 = 22010  52010  0,12010 = ( 2  5  0,1)2010 = 12010 = 1 Anne: Potenssin laskusäännöt, löytyy myös taulukkokirjasta

3a. reaalinen? x – 4  0 ja 5 – x  0 x  4 ja x  5 4  x  5 Anne: Kyseessä ei todellakaan ole yhtälön ratkaisu ( ei ole = merkkiä missään näkyvissä). Ja on oleellinen juttu, siis molempien pitää olla voimassa. b. kx2 + (k – 2)x – 2 = 0 2 erisuurta ratkaisua? D = (k -2)2 – 4k  (-2) = k2 – 4k + 4 + 8k = k2 + 4k + 4 2 ratkaisua, kun D > 0 k2 + 4k + 4 = (k + 2)2 k  -2 ja k  0 Anne: Voidaan ratkaista myös ihan ratkaisukaavalla, 2. asteen epäyhtälö k  0 tulee siitä, että jos k = 0, yhtälö ei enää olisi 2. asteen yhtälö

4. Markan arvo alussa a Laskettiin ensin 4% 0,96a sitten 6 % 0,94  0,96a = 0,9024a a) Virhe prosentteina: 100 % - 99,73% = 0,27% (liian pieni) Virhe prosenttiyksikköinä: 90,24 – 90 = 0,24 Vastaus: 0,24 prosenttiyksikköä Anne: Taulukkokirjasta löytyy käsite prosenttiyksikkö Kirjain oltava mukana laskuissa (jos lukuarvo kirjaimen tilalla, 4p) Vertailuprosentit

5.a) h(t) = -4,9t2 + 16,2t Kappale ilmassa h(t) = 0: -4,9t2 + 16,2t = 0 t(-4,9t + 16,2) = 0 t = 0 tai -4,9t + 16,2 = 0 Vastaus: n. 3,3 s b) Lakikorkeus lentoajan puolessa välin: t = 3,3/2 = 1,65 (s) h(1,65) = -4,9  1,652 + 16,2  1,65  13,4 Vastaus: 13,4 m c) Lähtönopeus: h ’(0) h ’(t) = -9,8t + 16,2 h ’(0) = 16,2 Vastaus: 16,2 m/s Anne: Lopullisissa vastauksissa oltava yksiköt mukana

6. (x + 1) = x2 – 3x + 5 (x - 1) = (x – 2)2 – 3(x – 2) + 5 = x2 – 4x + 4 – 3x + 6 + 5 = x2 – 7x + 15 Anne: Siis sijoitettava muuttuja on 2 pienempi kuin alkuperäisessä Voi tehdä myös toisella tapaa, ilman yllä olevaa ”hoksaamista” Toisen asteen yhtälö muotoa: (x) = ax2 + bx + c a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = x2 – 3x + 5 a(x2 + 2x + 1) + bx + b + c = x2 – 3x + 5 ax2 + (2a + b)x + (a + b + c) a = 1 2a + b = - 3 b = -5 a + b + c = 5 1 + (-5) + c = 5 => c = 9 (x) = x2 – 5x + 9 (x - 1) = (x – 1)2 – 5(x – 1) + 9 = x2 - 2x + 1 – 5x + 5 + 9 = x2 – 7x + 15