1.2. Perusyhteydet ja –kaavat 1.2.1. Suplementtikulmat x ja  - x Suplementtikulmien summa on p = 180 sin (180° - a) = sin a eli sin (p - x) = sin x cos (180° - a) = - cos a eli cos (p - x) = - cos x tan (180° - a) = - tan a eli tan (p - x) = - tan x

E.1. a) Olkoon sin 50° = 0,77. Mitä on sin 130°? b) Olkoon cos 41° = a. Mitä on cos 139°? c) Olkoon cos x = a ja cos y = b. Määritä cos x + cos y + cos (p - x) - cos (p - y). d) Olkoon tan p/7 = b. Määritä tan 6p/7. a) sin 130° = sin (180° - 50°) = sin50° = 0,77 b) cos 139° = -cos(180° - 139°) = -cos 41° = -a c) cos x + cos y + cos (p - x) - cos (p - y) = cosx + cosy – cosx – (-cosy) = 2cosy = 2b d) tan 6p/7 =-tan(p - 6p/7) = -tanp/7 = -b

1.2.2. Kulmat x ja x  p sin (x + p) = - sin x cos (x + p) = - cos x tan (x + p) = tan x

E.2 a) Olkoon sin 34° = a. Mitä on sin 214°? b) Tiedetään, että sin 50° = 0,766. Mikä on a, kun 180° < a < 270° ja sin a = - 0,766 c) Olkoon sin x = a. Mitä on sin x - sin (x + p) + sin (p - x)? d) Olkoon cos x = a. Mitä on cos (p + x) + cos (p - x) + cos x? a) sin 214° = sin(34 + 180) =-sin34° = -a b)  = 180 + 50 = 230° c) sin x - sin (x + p) + sin (p - x) = sinx – (-sinx) + sinx = a + a + a = 3a sin (p - x) = sin x cos (p - x) = - cos x tan (p - x) = - tan x d) cos (p + x) + cos (p - x) + cos x = -cosx – cosx + cosx = -cosx = - a sin (x + p) = - sin x cos (x + p) = - cos x tan (x + p) = tan x

1.2.3. Vastakulmat x ja –x sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x E.3. a) Olkoon sin x = 0,4. Mitä on sin ( - x )? b) Olkoon cos 56° = a. Mitä on cos ( - 56°)? c) Olkoon tan x = 1,5. Mitä on tan (-x)? a) sin (-x) = -sinx = -0,4 b) cos( - 56°) = cos56° = a c) tan(-x) = -tanx = -1,5

E.4. Sievennä a) cos (2p + x) + cos (p - x) = cosx – cosx = 0 b) sin(-9p/4) = -sin(9p/4) = -sin(p/4 + 2p) = -sin(p/4) = (t. 46b) sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x c) tan(-17p/3) = -tan(17p/3) = -tan(2p/3 +5p) = -tan(2p/3) = (t. 47c) sin (p - x) = sin x cos (p - x) = - cos x tan (p - x) = - tan x sin (x + p) = - sin x cos (x + p) = - cos x tan (x + p) = tan x

Parillinen funktio Funktio f on parillinen, jos kaikilla x pätee: f(-x) = f(x) eli funktion arvot vastaluvuilla ovat yhtä suuret Pariton funktio Funktio f on pariton, jos kaikilla x pätee: f(-x) = -f(x) eli funktion arvot vastaluvuilla ovat vastalukuja kosini on parillinen, koska cos (-x) = cos x sini ja tangentti ovat parittomia, koska sin (-x) = - sin x ja tan (-x) = - tan x

1.2.5. Peruskaavat 1. sin2 x + cos2 x = 1 2.

E.5. Sievennä sin2 (p - x) + cos2 x = sin2x + cos 2 x = 1 E.6.Sievennä sin x · ( sin x + 1) + cos2 x = sin2x + sinx + cos2x = sin2x + cos2x + sinx = 1 + sinx sin (p - x) = sin x cos (p - x) = - cos x tan (p - x) = - tan x

E.7. Todista, että a) b)

Kulman trigonometristen funktioiden tarkkojen arvojen laskeminen, kun ko. kulman yhden trigonometrisen funktion arvo tunnetaan A. Piirrä suorakulmainen kolmio ja merkitse annetusta tiedosta kulmaan liittyvät kaksi sivua B. Laske Pythagoraan lauseella kolmion kolmas sivu. C. Päättele missä neljänneksessä kulma sijaitsee. D. Vastauksen etumerkin saat neljänneksen perusteella ja itseisarvon suorakulmaisesta kolmiosta

E.8. Laske sin a ja cos a, kun tan a = ¾ ja 180° < a < 270°. P: x = 5 III neljännes: sin a = -3/5, cos a = -4/5

1.2.6. Komplementtikulman sini ja kosini Olkoon sin x = a. Mitä on a) cos (½p - x) b) cos (x - ½p) a) cos (½p - x) = sinx = a b) cos(x - ½) = cos(½ - x) sin ( - x ) = - sin x cos ( - x ) = cos x tan ( - x ) = - tan x