Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.161, Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4

Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, kun prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen tai yleisessä muodossa

Ideaalinen tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli

Todellinen (kohinainen) tilamalli Lineaarinen tilamalli Yleisessä muodossa oleva tilamalli

Kohina Kohinakomponentit käsitellään usein nollakeskiarvoisina, ja niiden kovarianssit oletetaan tunnetuiksi Ellei todellisia kovariansseja tunneta, käytetään kovarianssimatriiseja viritysparametreina

Varianssi Kuvaa yhden (satunnais)muuttujan vaihtelua Nollaksekiarvoisen muuttujan varianssi lasketaan muuttujan arvojen neliöiden keskiarvona

Kovarianssi Kuvaa useamman muuttujan vaihtelua Muuttujat pystyvektorissa Nollakeskiarvoisen muuttujan kovarianssi lasketaan muuttujavektorin ja sen transpoosin keskiarvona Diagonaalielementit kunkin muuttujan variansseja Muut elementit kuvaavat muuttujien keskinäisiä kovariansseja

Kalman-suodin Estimoi prosessin sisäistä tilaa Ennakoi prosessin tilaa perustuen malliin Korjaa ennakoitua estimaattia perustuen mittaukseen Mittauksen ja estimaatin keskinäinen paino riippuu mittausten, prosessimallin ja estimaatin kovariansseista

Laajennettu Kalman-suodin Kalman-suotimen perusversio toimii vain lineaarisilla tilamalleilla Laajennettua Kalman-suodinta voidaan käyttää myös epälineaaristen prosessien kanssa

Laajennettu Kalman-suodin Prosessin tilamalli yleisessä muodossa Kohinatermien w(k) ja v(k) kovarianssit

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Laajennettu Kalman-suodin Prosessi x syöte u u y y(k) u(k-1) A-priori- estimaatti (ennakointi) x(k|k-1) A-posteriori- estimaatti (korjaus) x(k|k) + - ^ x(k-1|k-1) ^ ^

Indeksien merkintä A-priori –estimaatti: ennakointi x(k | k –1) A-posteriori –estimaatti: korjaus x(k | k) tai x(k –1 | k –1) ^ Tarkasteltava ajanhetki Ajanhetki, johon asti on olemassa mittausdataa ^ ^

Vahvistusmatriisi K Kuvaa mallin tarkkuutta Jos jotkin osat mallissa ovat epätarkkoja, painotetaan mittauksia enemmän kuin mallia Lineaarisessa ja staattisessa tapauksessa K-matriisia voidaan pitää vakiona Epälineaarisessa tapauksessa K pitää laskea jokaisella kierroksella uudelleen

Vahvistusmatriisi K ^ K lasketaan käyttäen hyväksi estimaatille x estimoitua kovarianssia P P:lle lasketaan a-priori- ja a-posteriori-estimaatit P:n ja K:n laskemisessa tarvitaan lineaarisen mallin matriiseja A ja C

A- ja C-matriisien linearisoiminen Lasketaan Jakobin matriisi (jakobiaani) Derivoidaan f:n kukin komponentti x:n komponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan käyttää A:n paikalla Derivoidaan h:n kukin komponentti x:n komponenttien suhteen Matriisi, jota voidaan käyttää C:n paikalla

Esimerkki Tilavektorissa x(k) on 2 elementtiä: x1, x2  f(k) on vektori, jossa on 2 elementtiä: f1, f2  A(k) on 2x2 kokoinen A:n korvaava matriisi:

Esimerkki Mittausvektorissa y(k) on 1 elementti  h(k) on vektori, jossa on 1 elementti  C(k) on 1x2 kokoinen C:n korvaava matriisi:

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 1/7 Tilan ennakointi seuraavaan mittaushetkeen

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 2/7 A:n korvaava derivaatta

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 3/7 Tilan estimointivirheen kovarianssi (ennakointi) seuraavaan mittaushetkeen

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 4/7 C:n korvaava derivaatta

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 5/7 Estimoinnin vahvistuksen K(k) laskenta

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 6/7 Tilan päivitys mittauksella

Laajennetun Kalman-suotimen kaavat 7/7 Tilan estimointivirheen kovarianssin päivitys

Rekursio Siirrytään seuraavaan ajanhetkeen k+1 x(k|k)  x(k-1|k-1) P(k|k)  P(k-1|k-1) Palaataan Kalman-suotimen vaiheeseen 1 ^ ^