Kolmion ominaisuuksia 2 Lause 4 Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. B Oletus: Kolmion ABC sivujen AB ja BC keskinormaalit leikkaavat pisteessä P. Väitös: Kolmas keskinormaali kulkee pisteen P kautta ja P on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. Todistus: Yhdistetään P kolmion käkipisteisiin. 1) Koska P on janan AB keskinormaalin piste AP = BP. P 2) Koska P on janan BC keskinormaalin piste BP = CP. 3) Tällöin AP = PC, koska molemmat ovat BP:n pituisia. A P on yhtä etäällä AC:n päätepisteistä eli on sen keskinormaalin piste. C Lisäksi koska AB = BC = AC kulkee ympäri piirretty ympyrä A:n, B:n ja C:n kautta. M.O.T. B Lause 5: Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Oletus: Kolmio ABC, kulman A ja C puolittajat leikkaavat pisteessä P. E Väitös: Kulman B puolittaja kulkee pisteen P kautta, joka on samalla sisään piirretyn ympyrän säde. F P Todistus: Kulman A puolittaja on yhtä etäällä kulman kyljistä AB ja AC. Tällöin PD = PE. C Kulman C puolittaja on samalla etäisyydellä molemmista kyljistä CA ja CB. A D Tällöin PD = PF, joten myös PF = PE. P on tällöin myös kulman P puolittajan piste. Koska Pisteestä P etäisyydet kylkiin ovat samat, on P sisään piirretyn ympyrän keskipiste. M.O.T.

B Lause 6: Kolmion keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka jakaa keskijanat kärjestä lukien 2 : 1 . Oletus: Kolmio ABC ja siinä keskijanat AE ja CD. E D Väitös: Keskijanojen leikkauspiste P jakaa keskijanat suhteessa 2:1 ja että kolmas keskijana kulkee myös pisteen P kautta. P Todistus: Piirretään apupiirroksena jana DE. 1) Koska DE yhdistää sivujen keskipisteet, on se kannan AC suuntainen ja puolet sen pituudesta. C A F Kolmiot DEP ja APC ovat yhdenmuotoisia (KKK) sillä: Kärjen P ristikulmat ovat keskenään yhtä suuria. Koska DE ja AC ovat yhdensuuntaisia ovat kolmioiden kantakulmat D ja C sekä A ja E keskenään yhtä suuria. Aikaisemman perusteella tiedämme että DE = ½ AC, joten mittakaava k = 1: 2. Sama mittakaava pitää paikkansa myös muihin sivuihin. Täten DP:PC = EP: AP = 1:2. Jos todistamme saman keskijanoille CD ja BF niin saamme että sama keskijana CD jakautuu P:sä suhteessa 1:2, mutta sillä on vain yksi tällainen jakopiste eli myös BF kulkee P:n kautta. B Lause 7: Kolmion kulman puolittaja jakaa kulman vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Oletus: Kolmio ABC ja siinä kulman puolittaja BE. b Todistus: Kulman puolittaja jakaa kolmion kahdeksi osakolmioksi. Laskemme niiden alat kahdella eri tavalla, kantoina ensin d ja e ja toiseksi a ja b. a 1) Korkeus on molemmilla kolmioilla sama h. Täten saamme A A 1 2 A 1 = ½ d h A = ½ e h 2 A C d e 2) Piirrämme korkeudet pisteestä E Molemmat korkeudet ovat yhtä suuria h´, koska E kulman puolittaja BE on yhtä etäällä kulman kyljistä. Täten Muodostetaan pinta-alojen suhde molemmin tavoin lasketuista aloista, jotka ovat yhtäsuuret saamme: A = ½ a h´ ja A = ½ b h´ 1 2 d a A ½dh ½ah´ 1 = = = M.O.T. A ½eh ½bh´ e b 2