TMA.003 / L3 ( ) I asteen yhtälö Perusaskeleet: (1) termi saa vaihtaa puolta, jos se samalla vaihtaa merkkiä 5x = 4x + 2  5x – 4x = 2 (2) yhtälön saa jakaa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit) (3) yhtälön saa kertoa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit) Perusaskeleet: (1) termi saa vaihtaa puolta, jos se samalla vaihtaa merkkiä 5x = 4x + 2  5x – 4x = 2 (2) yhtälön saa jakaa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit) (3) yhtälön saa kertoa nollasta eroavalla luvulla (kaikki termit)

TMA.003 / L3 ( )2 Esimerkki 1 Esimerkki 2

TMA.003 / L3 ( ) II steen yhtälö Normaalimuoto Normaalimuoto Ratkaisukaava Ratkaisukaava Reaalisten juurten lukumäärä riippuu neliöjuuren juurrettavasta D = b 2 – 4ac eli diskriminantista Reaalisten juurten lukumäärä riippuu neliöjuuren juurrettavasta D = b 2 – 4ac eli diskriminantista

TMA.003 / L3 ( )4 Jos D > 0, niin reaalijuuria on kaksi, Jos D > 0, niin reaalijuuria on kaksi, jos D = 0, niin reaalijuuria on yksi, jos D = 0, niin reaalijuuria on yksi, jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaalisia juuria. jos D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaalisia juuria. Ei reaalijuuria. Kompleksijuuret  1  i.

TMA.003 / L3 ( )5 Korkeamman asteen yhtälöt Kirjoitetaan tulomuotoon (ks opetusmoniste, tai lukion oppikirja) Kirjoitetaan tulomuotoon (ks opetusmoniste, tai lukion oppikirja) esim: x 3 – x = 0 * tulomuoto * kuvaaja * Mathematica esim: x 3 – x = 0 * tulomuoto * kuvaaja * Mathematica

TMA.003 / L3 ( )6 Itseisarvoyhtälö

7 Kaksi itseisarvoa Laaditaan merkkikaaviot itseisarvomerkkien sisällä oleville lausekkeille 1-x 2x /2 + +   + +

TMA.003 / L3 ( )8 Kun x < -3/2, niin 1-x 2x /2 + +   + + Ok !

TMA.003 / L3 ( )9 Kun -3/2  x < 1, niin 1-x 2x /2 + +   + + Hylätään !

TMA.003 / L3 ( )10 Kun 1  x, niin 1-x 2x /2 + +   + + Ok ! VASTAUS: x = -3 tai x = 5/3

TMA.003 / L3 ( ) Epäyhtälö Epäyhtälöä käsitellään kuten yhtälöä, ottaen huomioon seuraavat lisäykset Epäyhtälöä käsitellään kuten yhtälöä, ottaen huomioon seuraavat lisäykset 1. kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla erisuuruusmerkki kääntyy 2. epäyhtälöä ei saa jakaa tai kertoa x:n lausekkeella. (poikkeus x 2 +1 yms.) 3. jos kerrotaan tai jaetaan kirjainvaki- olla, niin on oltava huolellinen.

TMA.003 / L3 ( )12 Esimerkki: Rj = [-4,  )

TMA.003 / L3 ( )13 Esimerkki: Rj = R (epäyhtälö on totta kaikilla x  R)

TMA.003 / L3 ( )14 Esimerkki: Jos a > 2, niin Jos a < 2, niinJos a = 2, niin

TMA.003 / L3 ( )15 II asteen epäyhtälö ks. opetusmoniste (s ) vie epäyhtälö normaalimuotoon vie epäyhtälö normaalimuotoon ratkaise LHS:n nollakohdat ratkaise LHS:n nollakohdat muodosta LHS:n merkkikaavio muodosta LHS:n merkkikaavio kirjaa ey:n ratkaisujoukko kirjaa ey:n ratkaisujoukko

TMA.003 / L3 ( )16 Itseisarvoepäyhtälö Laaditaan merkkikaaviot itseisarvomerkkien sisällä oleville lausekkeille 1-x 2x /2 + +   + +

TMA.003 / L3 ( )17 Kun x < -3/2, niin 1-x 2x /2 + +   + +

TMA.003 / L3 ( )18 Kun -3/2  x < 1, niin Hylätään ! 1-x 2x /2 + +   + +

TMA.003 / L3 ( )19 Kun 1  x, niin Ok ! VASTAUS: x 5/3 1-x 2x /2 + +   + +

TMA.003 / L3 ( )20 Murtoepäyhtälö MUISTA: nimittäjän nollakohta ei kuulu ratkaisujoukkoon MUISTA: nimittäjän nollakohta ei kuulu ratkaisujoukkoon

TMA.003 / L3 ( )21 x 2 - x x      Vastaus: x  0 tai 1 < x  2