Todennäköisyyslaskentaa 2. Yhteen- ja kertolaskusäännöt T055403

2.1 Yhteenlaskusäännöt Kaksi tapahtumaa A ja B ovat erillisiä, kun toisen tapahtuminen ei vaikuta toisen tapahtumiseen. Erilliset eli riippumattomat ja toisis-taan riippuvat tapaukset on osattava erottaa toisistaan. T055403

Ei erilliset tapahtumat Erilliset tapahtu-mat B A A B Ei erilliset tapahtumat Erilliset tapahtu-mat T055403

P(A tai B sattuu) = P (A) + P(B) Erillisten tapahtumien yhteenlasku-sääntö: P(A tai B sattuu) = P (A) + P(B) Yleinen yhteenlaskusääntö: P(A tai B sattuu) = P(A) +P(B) - P(molemmat sattuvat) T055403

Edellä olleet kaavat ovat esitettävissä myös muodossa

Esimerkki 1. Kuinka suuri on todennäköisyys sille, että pakasta otettu kortti on kuva-kortti tai ässä? Esimerkki 2. Mikä on todennäköisyys sille, että sekoitetusta korttipakasta otettu kortti on ruutu tai kuningas? T055403

Yhteenlaskusääntöä käytetään silloin, kun joko A tai B sattuvat. Yleistä yhteenlaskusääntöä käytetään silloin, kun tapahtumat eivät ole riippumattomia. Yhteenlaskusääntöä käytetään silloin, kun joko A tai B sattuvat. T055403

P(A ja B tapahtuvat) = P(A) * P(B) 2.2 Kertolaskusäännöt Riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö: P(A ja B tapahtuvat) = P(A) * P(B) Esimerkki 3. Heitetään rahaa ja noppaa. Millä tn:llä saadaan klaava ja pariton silmäluku? T055403

b) 1. nopalla suuremman kuin 4 ja toisella pienemmän kuin 4? Esimerkki 4. Kalle heittää kahta noppaa. Millä to-dennäköisyydellä hän saa silmäluvuk-si a) 1. nopalla 6 ja toisella 3 b) 1. nopalla suuremman kuin 4 ja toisella pienemmän kuin 4? T055403

Toisistaan riippuvien tapahtumien kertolaskusääntöä varten tarvitaan ehdollisen todennäköisyyden käsitettä. Ehdollisessa todennäköisyydessä on kysymys siitä, millä todennäköisyy-dellä tapahtuma B sattuu, kun A on sattunut. T055403

Riippuvien tapahtumien kertolasku-sääntö: P(A ja B tapahtuvat) = P(A) * P(B tapahtuu, kun A on tapahtunut) Tämä esitetään usein muodossa T055403

Esimerkki 5. Laatikossa on 5 valkoista ja 2 sinistä palloa. Laatikosta poimitaan 2 palloa. Millä todennäköisyydellä pallot ovat samanväriset? T055403

2.3 Kokonaistodennäköisyys Oletetaan, että tapahtuma B voi ta-pahtua toisensa poissulkevien tapah-tumien A1, A2, ..., Ak kautta. Kokonaistodennäköisyys saadaan selville laskemalla kaikkien eri mah-dollisten todennäköisyyksien summa. T055403

Jos tapahtuma B on tapahtunut, niin todennäköisyys sille, että toisensa poissulkevista tapahtumista A1, A2, ..., Ak on tapahtunut Ak on (nk. Bayesin kaava) T055403

Edellinen kaava näyttää hankalalta, joten tärkeintä on osata osata käyttää tervettä maalaisjärkeä, jolloin kokonaistodennäköisyyteen liittyvät tehtävät ratkeavat helposti. T055403

Esimerkki 6. Tiettyä tarttuvaa tautia sairastavia et-sitään koko väestöön kohdistuvilla testeillä. Testeihin sisältyy aina pieni epävarmuus, kuten kaikkiin lääketie-teellisiin testeihin. Terveen henkilön testitulos on positiivinen tn:llä 0,02 T055403

Sairaan henkilön testitulos on nega-tiivinen todennäköisyydellä 0,07 Sairaan henkilön testitulos on nega-tiivinen todennäköisyydellä 0,07. Kuinka suurella todennäköisyydellä positiivisen testituloksen saanut on terve? Etsittävää tautia sairastaa noin 1,5% koko väestöstä. T055403