2.3. Riippumattomuus ja kertolaskusääntö

Esitys aiheesta: "2.3. Riippumattomuus ja kertolaskusääntö"— Esityksen transkriptio:

1 2.3. Riippumattomuus ja kertolaskusääntö
Ehdollinen todennäköisyys E.1. Heitetään noppaa. Mikä on todennäköisyys, että saatiin 6, kun huomattiin, että ”silmiä” oli vähintään 3? A = ”saadaan 6” B = ”silmäluku vähintään 3” A | B = ”saadaan 6, kun tiedetään silmäluvun olevan vähintään 3”  uusi perusjoukko B = {3, 4, 5, 6} N(A) = 1 N(B) = 4 P(A | B) = ”A ehdolla B”

2 Kuutosen saamisen todennäköisyys kasvoi 1/6 --> ¼
”Saadaan kuutonen” ja ”silmäluku vähintään 3” ovat riippuvia tapahtumia (todennäköisyys muuttui ”ehdon vuoksi”). Katso kirjan esimerkki 2, sivu 56

3 Ehdollinen tapahtuma on sellainen, että tapahtuu A,
kun tiedetään, että on tapahtunut B Tämä merkitään A | B ja luetaan ” A ehdolla B ” Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B: P(A tapahtuu, kun tiedetään, että B tapahtuu) P(A | B) = P(A Ç B) / P(B) missä todennäköisyydet ovat lasketut koko otosavaruudessa E ja P(B) > 0

4 E.1. … jatkoa … A = ”saadaan 6” B = ”silmäluku vähintään 3” A  B = ”6” N(AB) = 1 N(B) = 4 P(A | B) =

5 E.2. Pakasta otetaan kortti.
Mikä on todennäköisyys, että se oli hertta, kun se oli punainen? A = hertta B = punainen N(A) = 13 N(B) = 26 P(A | B) = TAI A  B = ”hertat” E = {kortit} N(E) = 52 N(AB) = 13 N(B) = 26 P(A | B) =

6 Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos P(A | B) = P(A)
( jos toisen sattuminen ei vaikuta toisen todennäköisyyteen)

7 Katso esimerkki 3, sivu 57 Pelaaja ottaa sekoitetusta pakasta kortin. Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomia vai riippuvia, kun A=” saadaan ässä” ja B on a) ”saadaan pata” b) ”ei saada kakkosta” E = ”saadaan kortti” N(E) = 52 A = ”saadaan ässä” N(A) = 4

8 Koska P(A | B) = P(A), niin A ja B ovat riippumattomia
a) N(B) = 13 N(AB) = 1 A=” saadaan ässä” ja B on a) ”saadaan pata” b) ”ei saada kakkosta” Koska P(A | B) = P(A), niin A ja B ovat riippumattomia b) N(B) = 48 N(AB) = 4 Koska P(A | B)  P(A), niin A ja B ovat riippuvia