S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 1 Ehdollisten todennäköisyyksien.

Esitys aiheesta: "S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 1 Ehdollisten todennäköisyyksien."— Esityksen transkriptio:

1 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 1 Ehdollisten todennäköisyyksien määrittäminen Topi Tahvonen

2 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 2 Ehdolliset todennäköisyydet Erilaisia lähtökohtia ehdollisille todennäköisyyksille: –frekvenssit tilastoista –subjektiiviset todennäköisyydet Laskuesimerkkejä: –Maitotesti –Hevosfarmi –Kolmen kortin pokeri

3 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 3 Maitotesti Mallia varten tarvitaan todennäköisyydet P(Inf) ja P(Testi | Inf) Testin toimittaja antaa testiä kuvaavat arvot: –Väärät positiiviset: P(Test = pos | Inf = ei) = 0.01 –Väärät negatiiviset: P(Test = neg | Inf = kyllä) = 0.01 P(Inf) = λ lasketaan tilastoista: Navetassa 50 lehmää, jotka lypsetään joka päivä. Lypsetty maito kaadetaan samaan säiliöön ja yhtenä päivänä kuukaudesta maito ei läpäise meijerin tarkkaa testiä.

4 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 4 Lasketaan yhteisjakauma Bayes-verkon ketjusäännöllä Inf = kylläInf = ei Testi = pos0.990.01 Testi = neg0.010.99 = Inf = kylläInf = ei 0.00070.9993 Inf = kylläInf = ei Testi = pos0.0006930.009993 Testi = neg0.0000070.989307 =. Jos testitulos on positiivinen, millä todennäköisyydellä lehmä on saanut infektion?

5 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 5 Nyt voidaan laskea ehdollinen todennäköisyys:

6 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 6 Seitsemän päivän malli Mallia varten oletetaan todennäköisyys saada infektio 0.0002 ja parantua siitä 0.3 Inf i = kylläInf i = ei Inf i+1 = kyllä0.70.0002 Inf i+1 = ei0.30.9998

7 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 7 Seitsemän päivän malli kahden päivän muistilla Oletetaan, että infektio kestää ainakin kaksi päivää, jonka jälkeen on 0.4 todennäköisyys parantua siitä, sairastumisen todennäköisyys on edelleen 0.0002 Inf i-1 = kylläInf i-1 = ei Inf i = kyllä0.61 Inf i = ei0.0002

8 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 8 Mallissa huomioidaan myös testin oikeellisuuden muisti; jos testi oli oikein eilen, se on suurella todennäköisyydellä oikein myös tänään Oikein i = kylläOikein i = ei Inf i = kyllä0.9990.1 Inf i = ei0.0010.9 Inf i = kylläInf i = ei Testi i = pos10 Testi i = neg01 Käytetään välittäviä muuttujia Oikein i, jotta ehdolliset todennäköisyydet saadaan yksinkertaisemmiksi

9 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 9 Hevossiittola Selviää, että Johnilla on vakava perinnöllinen sairaus ja se joudutaan lopettamaan. Sairausgeeni halutaan pois tuotannosta. Mitä hevosia voi käyttää tuotannossa edelleen?

10 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 10 Sairautta koskevat geenit voivat olla (aa) sairas, (aA) kantaja ja (AA) terve aaaAAA aa(1, 0, 0)(0.5, 0.5, 0)(0, 1, 0) aA(0.5, 0.5, 0)(0.25, 0.5, 0.25)(0, 0.5, 0.5) AA(0, 1, 0)(0, 0.5, 0.5)(0, 0, 1) Johnia lukuun ottamatta kaikki hevoset ovat terveitä aAAA aA(0.25, 0.5, 0.25)(0, 0.5, 0.5) AA(0, 0.5, 0.5)(0, 0, 1)

11 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 11 Geeniyhdistelmää (aa) ei ole, jos hevonen on terve aAAA aA(0.67, 0.33)(0, 0.5, 0.5) AA(0, 0.5, 0.5)(0, 0, 1) Johnista on evidenssi (aa) Oletetaan, että hevosilla on 0.01 todennäköisyys kantaa sairausgeeniä eli (aA) Näistä todennäköisyys taulukoista ja geenin kantamisen prioritodennäköisyydestä voidaan muodostaa Bayes-verkkon mukainen malli, jonka avulla voidaan laskea todennäköisyydet sairausgeenille koko sukupuussa

12 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 12 Johnin sukupuu

13 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 13 Todennäköisyydet kantaa sairausgeeniä ilman evidenssiä

14 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 14 Todennäköisyydet kantaa sairausgeeniä, kun Johnista on evidenssi (aa)

15 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 15 Kolmen kortin pokeri Pelaajilla kolme korttia Kaksi vaihtovuoroa, toisessa vaihdossa voi vaihtaa maksimissaan kaksi korttia Käsien arvojärjestys: ei mitään (no), ässä (1 a), pari (2 v), ässäpari (2 a), väri (fl), suora (st), kolmoset (3 v), värisuora (sfl)

16 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 16 Pokeripelin Bayes-verkko OH0, vastustajan ensimmäinen käsi FC, ensimmäinen vaihto OH1, vastustajan toinen käsi SC, toinen vaihto OH2, vastustajan lopullinen käsi MH, pelaajan oma käsi Besthand, parempi käsi

17 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 17 Ehdolliset todennäköisyydet pokerissa Ihmiset pelaavat eri tavalla, joten ei voida antaa todennäköisyyksiä, jotka ovat valideja kaikille Oletetaan yksinkertainen strategia vaihdoille

18 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 18 1. Vaihdon strategia Jos ei ole mitään (no), vaihda kaikki Jos on ässä (1 a), vaihda kaksi Jos on kaksi peräkkäistä arvoa (2 cons), kaksi samaa maata (2 s) tai pari (2 v), vaihda yksi –jos on kaksi peräkkäistä ja kaksi samaa maata, pidetään kaksi samaa maata –jos mahdollisuus suoraan tai väriin ja pari, pidetään pari Jos on väri (fl), suora (st), kolmoset (3 v) tai värisuora (sfl), ei vaihdeta mitään

19 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 19 Mahdolliset tilat ovat (no, 1 a, 2 cons, 2 s, 2 v, fl, st, 3 v, sfl), joiden todennäköisyydet ensimmäisessä jaossa ovat P(OH0) = (0.1672, 0.0445, 0.0635, 0.4659, 0.1694, 0.0494, 0.0353, 0.0024, 0.0024) P(OH1 | OH0, FC):

20 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 20 2. Vaihdon strategia Toiselle vaihdolle käytetään samaa strategiaa paitsi, jos ei ole mitään vaihdetaan kaksi Nyt ollaan kiinnostuneista vain pokerikäsistä, joilla on arvoa, joten tehdään muutokset

21 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 21 Kun näitä ehdollisten todennäköisyyksien taulukoita käytetään pokerin Bayes-verkossa, voidaan tehdä malli, jota kokematon pokerin pelaaja voi käyttää apunaan. Heikkouksia: Vastapelaaja voi tietää, että pelaaja käyttää tätä mallia. Tällöin hän voi esim. vaihtaa kaksi ensimmäisellä kierroksella, vaikkei hänellä olisikaan ässää. Täten malli ei arvosta omaa kättä riittävästi. P(OH2 | OH1, Sc):

22 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 22 Yhteenveto Bayes-verkkoilla laskemista varten pitää tietää prioritodennäköisyyksiä ja ehdollisia todennäköisyyksiä solmuille, joilla on vanhempia Bayes-verkon yhteisjakauma määritetään ketjutussäännöllä Yhteisjakaumasta voidaan laskea muut todennäköisyydet

23 S ysteemianalyysin Laboratorio Teknillinen korkeakoulu Esitelmä 4 – Topi Tahvonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2005 / 23 Kotitehtävä a)Toteuta sivun 7 mukainen malli maitotestistä Huginilla. Ovatko prioritodennäköisyydet stabiileja ajan yli? b)Tarkastellaan ehdollista todennäköisyyttä P(Inf 2 | Inf 1 ), kun P(Inf 1 ) = (0.0007, 0.9993) ja infektion saamisen todennäköisyys on 0.0002. Vaaditaan stabiili prioritodennäköisyys: P(Inf 1 ) = P(Inf 2 ) = (0.0007, 0.9993). Osoita, että parantumisen todennäköisyyden on oltava n. 2/7.