6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA) y = x2+1 y = x2 y = x2 -1 aukeavat ylöspäin symmetrisiä y-akselin suhteen y-akseli on paraabelin akseli

Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax2 + bx + c , a  0 * kuvaaja paraabeli * sijainti koordinaatistossa riippuu kertoimista a, b, c * kaartumisen jyrkkyys riippuu kertoimesta a * paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran akselin suhteen Jos a > 0, paraabeli ylöspäin aukeava Jos a < 0, paraabeli alaspäin aukeava

Nollakohtien lukumäärä eli 2 nk ax2 + bx + c= 0, a0 1 nk ei nk

E.1. Piirrä paraabeli y = x2 - 4 x y = x2 - 4 -2 (-2)2 - 4 = 0 -1 (-1)2 - 4 = -3 0 02 - 4 = -4 1 12 - 4 = -3 2 22 - 4 = 0

7.1.1. Toisen asteen yhtälön perusmuoto x2 + bx + c = 0, a  0 7.1.2. Yhtälö ax2 + bx = 0 - vasen puoli jaetaan tekijöihin - tulo on nolla jos ja vain jos jokin tulon tekijöistä on nolla Tulon nollasääntö ab = 0  a = 0 tai b = 0 E.1. x(x – 2) = 0 x = 0 tai x – 2 = 0 x = 2

E.2. a) 4x2 – 8x = 0 4x(x – 2) = 0 4x = 0 |:4 tai x – 2 = 0 x = 0 x = 2 V: x1 = 0, x2 = 2 b) x2 = -4x x2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0 x = 0 tai x + 4 = 0 x = -4 V: x1 = 0, x2 = -4

7.1.3. Yhtälö ax2 + c = 0 - ratkaistaan ensin x2: x2 = r tai E.3. a) x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = ±3 b) 2x2 – 10 = 0 2x2 = 10 |:2 x2 = 5

E.4. a) (x + 2)(x – 2) = 12 x2 – 4 = 12 x2 = 16 x = ±4 b) (x + 2)2 = 4x x2 +4x + 4 = 4x x2 +4x + 4 - 4x = 0 x2 = -4 V: ei reaalista ratkaisua

E.5. 10x3 – 10x = 0 10x(x2 – 1) = 0 10x = 0 | :10 tai x2 – 1 = 0 x = 0 x2 = 1 x = ±1

7.2.2. asteen yhtälön ratkaisukaava ax2 + bx + c= 0, a0 Taulukkokirja! E.1. x2 + 4x - 5 = 0 a = 1 b = 4 c = -5

E.2. Ratkaise yhtälö x(x - 3) - 2 = 8 x2 - 3x - 2 = 8 x2 - 3x - 2 - 8 = 0 x2 - 3x - 10 = 0 a =1 b = -3 c = -10 V: x1 = 5, x2 = -2

E.3. Ratkaise yhtälö | ·8 a = 1 b = 6 c = -16 V: x1 = 2 x2 = -8

Esimerkki Tapa 2: Ratkaisukaavalla: a = 4 b = -2 c = 0 4x2 - 2x = 0 Tapa 1: Tulon nollasäännöllä: 2x(2x - 1) = 0 2x = 0 tai 2x - 1 = 0 x = 0 2x = 1 :2 x = ½ x= ½ tai x = 0

Esimerkki Tapa 2: Ratkaisukaavalla: a = 4 b = 0 c = -16 4x2 - 16 = 0 Tapa 1: 4x2 - 16 = 0 4x2 = 16 :4 x2 = 4 x= 2 tai x = -2

7.2.3. Diskriminantti D = b2 - 4ac eli 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla oleva lauseke. E.1. Laske yhtälön diskriminantti a) x2 + 3x - 4 = 0 b) 3x2 – 4x + 5 = 0 a) a = 1 b = 3 c = -4 D = 32 - 4·1·(-4) = 25 a) a = 3 b = -4 c = 5 D = (-4)2 - 4·3·5 = -44

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä diskriminantin avulla ax2 + bx + c = 0 Jos D > 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta reaalista ratkaisua. Jos D = 0, on yhtälöllä yksi kaksinkertainen reaalinen ratkaisu. (kaksoisjuuri) Jos D < 0, ei yhtälöllä ole yhtään reaalista ratkaisua

E.2. Montako ratkaisua on yhtälöllä a) 2x2 - 3x - 4 = 0 b) 0,25x2 + x + 1 = 0 c) 3x2 - 4x + 2 = 0 ? a) D = (-3)2 – 4 · 2 · (-4) = 41 > 0  2 ratkaisua b) D = 12 - 4 · 0,25 · 1 = 0  1 ratkaisu c) D = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = -8  ei ratkaisua reaalilukujoukossa

E.3. Millä a:n arvoilla yhtälöllä x2 - 4x + a = 0 on a) kaksi b) yksi c) nolla ratkaisua? D = (-4)2 - 4 · 1 · a = 16 - 4a a) 16 – 4a > 0 -4a > -16 a < 4 b) Yksi ratkaisu, kun D = 0: 16 - 4a = 0 -4a = -16 a = 4 c) 16 – 4a < 0 -4a < -16 a > 4

E.4. Määritä a, kun yhtälöllä x2 + (a – 1)x + 9 = 0 on yksi reaalinen ratkaisu. Mikä on tämä ratkaisu? a = 7: x2 + 6x + 9 = 0 D = (a - 1)2 – 4 · 1 · 9 = a2 - 2a + 1 – 36 = a2 – 2a - 35 = -3 a = -5: x2 - 6x + 9 = 0 = 3 a1 = 7 a2 = -5

Sillä aidataan 600 m2 suorakulmion muotoinen alue. E.6. Köyden pituus on 100 m. Sillä aidataan 600 m2 suorakulmion muotoinen alue. Miten pitkiä ovat sivut? x 50 - x x(50 - x) = 600 50x - x2 = 600 -x2 + 50x - 600 = 0 x2 – 50x + 600 = 0 V: 30 m, 20 m 20 m, 30 m x1 = 30 x2 = 20

7.3.1. 2. asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo Jos toisen asteen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat x1 ja x2 , niin Huomaa, jos a = 1, niin x1 + x2 = -b ja x1 · x2 = c

E.1. Määritä yhtälön ratkaisujen summa ja tulo a) x2 + 4x - 5 = 0 a = 1 b = 4 c = -5 x1 + x2 = - b = -4 x1 · x2 = c = -5 (aikasemmin: x1 = 1 ja x2 = -5) b) 4x2 - 2x = 0 (aikaisemmin: x1 = 0 ja x2 = ½)

1) Laske nollakohdat x1 ja x2 2) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) 7.3.2. Toisen asteen polynomin ax2 + bx + c jakaminen tekijöihin 1) Laske nollakohdat x1 ja x2 2) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Huom: Jos x1 = x2, niin ax2 + bx + c = a(x – x1)2 E.2. Jaa tekijöihin a) x2 – 4x – 5 b) 2x2 – 5x - 3 a) Ratkaisukaavalla x1 = 5 x2 = - 1 x2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) b) Ratkaisukaavalla x1= 3 x2 =-½ 2x2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + ½) = (x - 3)(2x + 1)

Tekijälause x – a on P(x):n tekijä  P(a) = 0 Siis Binomi (x – a) on polynomin P(x) tekijä, jos ja vain jos x = a on polynomin P(x) nollakohta

E.3. (t.550b) Määritä a siten, että polynomilla ax2 – 6x + 4 on tekijänä x – 1 Tekijälauseen mukaan x = 1 on polynomin nollakohta: a · 12 – 6 · 1 + 4 = 0 a – 2 = 0 a = 2

Toisen asteen epäyhtälö Ratkaisu nollakohtia ja kuvaajaa käyttäen 1) Epäyhtälö perusmuotoon ax2 + bx + c > 0 (tai <, ≤, ≥) 2) Ratkaistaan nollakohdat 3) Hahmotellaan paraabeli (nollakohdat, aukeamissunnta) 4) Päätellään ratkaisu E.1. x2 + 4x - 5 > 0 x2 + 4x - 5 = 0 Nollakohdat: Kuvaaja: x = 1 tai x = -5 -5 1 Vastaus: x < -5 tai x > 1

E.2 a) x2 < 4  x2 - 4 < 0 Nollakohdat: Kuvaaja: x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 + + -2 - 2 V: -2 < x < 2

E.3. x2 - 6x + 9 < 0 Nollakohdat: x2 – 6x + 9 = 0 Kuvaaja: + + x1 = x2 = 3 3 V: (tyhjä joukko)

E.4. Nollakohdat: -x2 + 8x – 16 = 0 Kuvaaja: x1 = x2 = 4 4 V: x  R

E.5. (t.570) Osoita, että funktion f(x) = x2 – 4x + 5 kaikki arvot ovat positiivisia x2 – 4x + 5 > 0 Kuvaaja: Nollakohdat: x2 – 4x + 5 = 0 + + ei ratkaisua, sillä D < 0 => f(x) > 0 kaikilla x  R

Esimerkkejä: 1. Millä x:n arvoilla funktio f(x) = 2x2 - 3x + 2 saa pienempiä arvoja kuin 4? 2x2 - 3x + 2 < 4 2x2 - 3x - 2 < 0 nollakohdat, paraabeli, vastaus 2. Millä vakion a arvoilla yhtälön x2 - 3ax + 2a = 0 ratkaisut ovat reaaliset? D = (-3a)2 - 4 *1*2a = 9a2 - 8a 9a2 - 8a > 0

Polynomin jakaminen tekijöihin Kertausta 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 3) a2 – b2 = (a + b) (a – b) E.1. Jaa tekijöihin a) x2 + 3x = x(x + 3) b) 6x2 – 8x = 2x(3x – 4) c) 5x3 – 10x2 = 5x2(x – 2) d) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 e) x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 f) x2 – 49 =(x + 7)(x – 7)

8.1.2. Korkeamman asteen yhtälöt Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla Merkitse kaikki tulon tekijät = 0 ja ratkaise näin saadut yhtälöt E.2. Ratkaise (x – 2)(x2 – 9) = 0 x – 2 = 0 tai x2 – 9 = 0 x = 2 x2 = 9 x =  3

Tulo = 0, yhteinen tekijä Kaikki termit vasemmalle puolelle Jaetaan tekijöihin Ratkaistaan näin saatu tulo = 0 yhtälö merkitsemällä kaikki tekijät = 0. E.3. Ratkaise x3 – 2x2 – 3x = 0 x(x2 – 2x – 3 ) = 0 x1 = 0 tai x2 – 2x – 3 = 0 x2 = 3, x3 = -1 (RTK-KAAVALLA)

Tulo = 0, ryhmittely Kaikki termit vasemmalle puolelle Ryhmittely, yhteinen tekijä Tekijät = 0 E.4. Ratkaise x3 – 3x2 + x – 3 = 0 (x3 – 3x2) + (x – 3) = 0 x2(x – 3) + (x – 3) = 0 (x2 + 1) (x – 3) = 0 x2 + 1 = 0 tai x – 3 = 0 x2 = -1 x = 3 ei ratkaisua

E.5. (598) a) x4 – 5x2 +4 = 0 b) x4 + 5x2 + 4 = 0

8.2. Korkeamman asteen epäyhtälöt Tulo > 0 ( <, ,  ) Tekijät =0, merkit Lukusuorataulukko Vastauksen päättely

E.6. Ratkaise (x2 – x)(x + 1) > 0 NK: (x2 – x)(x + 1) = 0 TAPA I: (kokeilu) f(x) = (x2 – x)(x + 1) = x3 + x2 – x2 – x = x3 - x -1 1 x f(x) = x3 – x - + - + -2 (-2)3 – (-2) = -6 < 0 -½ (-½)3 – (-½) = 3/8 > 0 ½ (½)3 – ½ = -3/8 < 0 V: -1 < x < 0 tai x > 1 2 23 – 2 = 6 > 0

TAPA II: x(x – 1)(x + 1) > 0 NK: Kuten edellä x1 = 0 x2 = 1 x3 = -1

E.7. Ratkaise 3x3 > 2x2 + x 3x3 - 2x2 – x > 0 x(3x2 – 2x – 1) > 0 NK: x(3x2 – 2x – 1) = 0 x1 = 0 V 3x2 – 2x – 1 = 0 x2 = 1

Yhden ratkaisun etsiminen ”kokeilemalla” Jos huomattu x = a, on tekijänä (x - a) Kaikki termit vasemmalle puolelle Jakamalla vasen puoli yhteisellä tekijällä saat toisen tekijän Näin saat yhtälön tulo = 0, joka ratkaistaan E.4. Ratkaise x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0 Kokeilemalla yksi rtk: x = 2

jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta Onko annettu binomi polynomin tekijä? x3 – x2 - 5x – 3, (x – 3) Siis jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta

3x - 4 a) Tapa 1 nk: x = 1 Tapa 2 Ratkaisukaavalla nollakohdat: x -1 tekijänä Tapa 2 Ratkaisukaavalla nollakohdat: 3x - 4 x = 1 tai x = 4/3

663. P(x) = ax3 -31x2 + 1 eräs nollakohta on x = 1. Määritä a. P(1) = 0: a · 13 - 31 · 12 + 1 = 0 a = 30 jakokulmassa

Johdantoesimerkki – kirja sivut 161 -162 E.1. Määritä paraabelin y = x2 – 2x huippu Kuvaaja ”katkoviiva” Paraabelin symmetrisyyden perusteella huipun x-koordinaatti on x-akselin ja paraabelin leikkauspisteiden keskiarvo y sijoittamalla: y = 12 - 2·1 = -1 Huippu: (1, -1) E.2. Määritä paraabelin y = x2 – 2x + 2 huippu Kuvaaja: 2 yksikköä ylöspäin Huipun x – koordinaatti pysyy samana Huipun y-koordinaatti kasvaa 2:lla Huippu (1, 1)

7.1.4. Paraabelin y= ax2 + bx + c huipun määrittäminen -Käytetään hyväksi paraabelia y = ax2 + bx: lasketaan nollakohdat ax2 + bx = 0 huipun x koordinaatti on nollakohtien keskiarvo huipun y-koordinaatti saadaan sitten sijoittamalla huipun x-korrdinaatti paraabelin yhtälöön

E.1. Määritä paraabelin huippu a) y = 3x2 - 4x b) y = x2 - 6x + 5 a) 3x2 – 4x = 0 x(3x – 4) = 0 x1 = 0 tai 3x – 4 = 0 3x = 4 x2 = 4/3 b) x2 – 6x = 0 x(x – 6) = 0 x1 = 0 tai x – 6 = 0 x2 = 6 V: Huippu on V: Huippu on

7.2.1. Neliöksi täydentäminen ks. kirja sivut 165 - 166 E.1. Ratkaise x2 – 2x + 1 = 9 (x – 1)2 = 32 x - 1 = 3 tai x – 1 = -3 x = 4 tai x =-2

E.2. Ratkaise x2 – 6x + 5 = 0 x2 – 6x = -5 x2 – 6x + 32 = -5 + 32 x - 3 = 2 tai x – 3 = -2 x = 5 tai x = 1 (a – b)2 = a2 -2ab + b2

E.3. Ratkaise 16x2 + 24x - 16 = 0 16x2 + 24x = 16 (4x)2 + 2 · 3 ·4x = 16 (4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 16 + 32 (4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 25 (4x + 3)2 = 25 (4x + 3)2 = 52 4x + 3 = 5 tai 4x + 3 = -5 x = ½ tai x = -2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Kerrotaan puolittain luvulla 4a 4a2x2 + 4abx + 4ac =0 7.2.2. Ratkaisukaava. kirja s. 166 ax2 + bx + c = 0 Kerrotaan puolittain luvulla 4a 4a2x2 + 4abx + 4ac =0 4a2x2 + 4abx = -4ac (2ax)2 + 2 ·b · 2ax = -4ac (2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = -4ac + b2 (2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = b2 – 4ac Merkitään: b2 – 4ac = D (2ax + b)2 = D (a + b)2 = a2 + 2ab + b2