4.2.1. Jatkuvan funktion nollakohdat Lause (Jatkuvan funktion nollakohtalause) Jos jatkuva funktio saa erimerkkiset arvot kohdilla x = a ja x = b, niin funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a,b[ (ks. kuviot s.121) Osoitus Osoita, että funktio on jatkuva ja saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä Jos päätepisteitä ei ole annettu, yritä löytää sopivat x:t päätepisteiksi
E.1. Osoita, että funktiolla f(x) = x3 - x - 1 on ainakin yksi nollakohta välillä [1,2] Funktio on polynomifunktiona jva välillä [1,2] f(1) = 12 – 1 – 1 = -1 < 0 f(2) = 23 – 2 – 1 = 5 > 0 Jatkuvan funktion nollakohtalauseesta seuraa väitös
E.2. Osoita, että funktiolla f(x) = x5 - 3x4 + 1 on ainakin yksi nollakohta. Funktio on polynomifunktiona jva f(0) = 05 – 3 04 + 1 = 1 > 0 f(1) = 15 – 3 14 + 1 = -1 < 0 Jatkuvan funktion nollakohtalauseesta seuraa väitös
Nollakohdan likiarvon määrittäminen halutulla tarkkuudella Haarukoi päätepisteiden x:ien väliä pienemmäksi niin kauan, että saat pyöristyksen haluttuun tarkkuuteen E.3. Osoita, että funktiolla f(x) = x3 - x - 1 on positiivinen nollakohta. Määritä se 0,001 tarkkuudella. x f(x) Nollakohta x0 välillä 1 - 2 + 1 < x0 < 2 1,3 - 1,4 + 1,3 < x0 < 1,4 1,32 - 1,33 + 1,32 < x0 < 1,33 1,324 - 1,325 + 1,324 < x0 < 1,325 1,3245 - 1,3245 < x0 < 1,3250 V: 1,325
Osoitus, että funktiolla on täsmälleen yksi nollakohta A. On oltava ainakin yksi nollakohta, eli f on jatkuva ja saa erimerkkiset arvot B. Nollakohtia on täsmälleen yksi, jos vielä funktio on aidosti monotoninen
E.4. Osoita, että funktiolla f(x) = x3 + 2x - 6 on täsmälleen yksi nollakohta. Funktio on polynomifunktiona jva f(1) = 13 + 2 1 – 6 = -3 < 0 f(2) = 6 > 0 Funktiolla nollakohtalauseen perusteella ainakin yksi nollakohta f ’ (x) = 3x2 + 2 on aina positiivinen, joten funktio aidosti kasvava (monotoninen) Tästä seuraa väitös.