1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot lausekkeesta E.3. a) = x2 x – 1 ≥ 0 x ≥ 1 = 3x2 + 1 b) koska 3x2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0

E.7. Piirrä funktion kuvaaja 1.1.3. Itseisarvofunktio E.7. Piirrä funktion kuvaaja x -3 -2 -1 1 abs

1.2. Itseisarvoyhtälöt 1) E.2. x +1 = 3 tai x+1 = -3

2) x  0  x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x  x - 2x = 1 tai x +2x = 1  -x = 1 tai 3x = 1  x = -1 tai x =1/3 Vastaus: x = 1/3

4) E.4. (x - 6)2 = (2x)2 x2 – 12x + 36 = 4x2 3x2 + 12x - 36 = 0 x2 + 4x – 12 = 0 x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x x - 2x = 6 tai x +2x = 6 -x = 6 tai 3x = 6 | : 3 x = -6 tai x = 2 Vastaus: x1 = -6, x2 = 2 Vastaus: x1 = -2, x2 = -6

E.1. E.2. | 3x + 12 | < 3 -3 < 3x + 12 < 3 -15 < 3x < -9 -5 < x < -3 | 3x -7 | > 2 3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2 3x > 9 tai 3x < 5 x > 3 tai x < 5/3

2. E.3.(46a) E.4.(46b)

3. E.5. Nollakohdat:

Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa Etäisyys x-akselista = | y | . Etäisyys y-akselista = | x | E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys a) x-akselista b) y-akselista c) origosta? a) |-5| = 5 b) |4| = 4 |-5| = 5 c) |4| = 4

Janan pituus yleisesti P1P2 = P1= (x1,y1) P2= (x2,y2) E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys = 5

Janan keskipiste Pisteiden (x1,y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipiste on E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8) = (1, -4)

Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3? 4 = 2  3½ - 3 4 = 4 tosi V: Piste on suoralla E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0? 3  2 – 3a + 6 = 0 6 – 3a + 6 = 0 -3a = -12 a = 4

2.2 Suora y = kx + b 2.2 Suora y = kx + b 2.2.1 Suoran piirtäminen y = 2x + 4 E.1. Piirrä suora y = 2x + 4 TAPA I x y . -1 2  (-1) + 4 = 2 0 4 1 6 TAPA II Koordinaattiakselien leikkauspisteet: y-akseli, x = 0: y = 2  0 + 4 = 4 x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4  2x = - 4  x = -2

KULMAKERROIN x1 ≠ x2 E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin

2.2.3 Suoran suuntakulma

E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on a) 45° b) - 30 ° a) k = tan 45° = 1 b) k = tan -30° = -tan30°= E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2 tan  = 2   63,4 E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma? k = 4 tan  = 4   76,0

y - y0 = k(x - x0) x = x0 missä (x0, y0) suoralla oleva piste ja k suoran kulmakerroin Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen yhtälö on x = x0

E.1. Kulmakerroin on 4 suoralla on piste (2, -3). Mikä on suoran yhtälö? y - (-3) = 4(x - 2) y + 3 = 4x - 8 y = 4x - 8 -3 y = 4x - 11 E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1) kulkevan suoran yhtälö? y – y0 = k(x – x0)

E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit? Suoran ja x-akselin leikkauspiste: y=0: -3x + 4  0 = 12 -3x = 12 Suoran ja y-akselin leikkauspiste: x=0: -3  0 + 4  y = 12 4y = 12 |:(-3) |:4 x = -4 V: (-4,0) y = 3 V: (0,3)

Kirjan E.2. – s. 53 Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0 suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta. 2x – 3y + 5 = 0 TAI 2x – 3y + c = 0 sijoitus -4 – 9 + c = 0 c = 13 2x – 3y + 13 = 0

E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi. y = 3x + c E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi. y – 3 = k(x – 2) tai x = 2 y = kx – 2k + 3 tai x = 2 E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0 suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta 2x + 3y + c = 0 2  7 + 3  (-8) + c = 0 c = 10 V: 2x + 3y + 10 = 0

Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta E.1. Mikä on pisteen a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4? b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3? a) d = | 2 - 4 | = 2 b) d = | 5 – (-3) | = 8 Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x0,y0) (a ≠ 0 tai b ≠ 0) E.2. Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 5 3x – 4y = 5 3x – 4y – 5 = 0 *************

6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta Tutki suorien y = 3x - 4 , 6x + 2y = 3 ja 6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta y = 3x – 4 k1 = 3 6x + 2y = 3 2y = -6x + 3 y = -3x + 3/2 k2 = .3 6x - 2y + 3 = 0 -2y = -6x – 3 y = 3x + 3/2 k3 = 3 V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat yhdensuuntaisia E.2. Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? k = 3 y – y0 = k(x – x0) y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x - 1

TAI Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran yhtälö? 3x – y + 4 = 0 Kuten edellä… TAI 3x – y + c = 0 3  1 – 2 + c = 0 c = -1 3x – y – 1 = 0

3.1.2. Suorien kohtisuoruus E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on a) k = 3 b) -4 E.2. Tutki suorien L1:y = 2x + 3 , L2:y = ½x - 1 ja L3:y = -½x + 2 kohtisuoruutta. k1 = 2 k2 = ½ k3 = -½ L1  L3, koska k1  k3 = 2  (-½)= -1 E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran y = 2x + 3 normaalin yhtälö. k = 2 y - 2 = -½(x - 1) y – 2 = -½x + ½ y = -½x + 2½

3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA Olkoon y = k1x + b1 y = k2x + b2 Kun  < 90, niin

E.x. (t. 198) Laske suorien a) 2x – 8y + 1 = 0 ja 2x + y – 2 = 0

3.2.1 Suorien leikkauspiste E.1. (t. 220) Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala. x + 2x + 1 + 2 = 0 3x = -3 x = -1 y = 2  (-1) + 1 = -1 2 + y + 2 = 0 y = -4 leikkauspiste B = (2, -4) y = 2 2 + 1 y = 5 leikkauspiste C = (2, 5) A =

Kirjan E.3., s. 78

1) x + y = 1 y = -x + 1 E.1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y  1 3) Valitaan piste suoran yläpuolelta: (1,2) Sijoitetaan piste yhtälöön: 1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi 2) 4) Valitaan piste suoran alapuolelta (0,0) Sijoitetaan piste yhtälöön: 0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi 5) Vastaus: Epäyhtälö toteutuu suoralla x + y = 1 ja sen yläpuolella

E.2. Piirrä epäyhtälöiden x2, y  1, x+y  6 ja x +2y  8 rajaama alue y  1 x2

x+y  6 x+y = 6 y = -x + 6 Piste yläpuolelta: (5,5) 5 + 5 = 10 > 6 tosi Piste alapuolelta: (0,0) 0 + 0 = 0 > 6 epätosi

x +2y  8 2y = -x + 8 y = -0,5x + 4 Piste yläpuolelta: (4,5) 4 + 2*5 = 14 > 8 tosi Piste alapuolelta: (0,0) 0 + 0 = 0 > 8 epätosi

Yhdistetään tulokset x2, y  1, x+y  6 x +2y  8

E.1. Ratkaise yhtälöpari y sijoittamalla 3 + 4y = 7 4y = 7 – 3 4y = 4 | 2 | 1 9x = 27 x = 3 V: x = 3, y = 1 Tarkistus: 4  3 – 2  1 = 10 ./. 3 + 4  1 = 7 ./.

E.2. Ratkaise: |  1 |(-1) |  1 | (-1) tarkistus 6a -2b = -12 Sijoittamalla 2a - 4  0 = -4 2a = -4 a= -2 10b = 0 |:10 b = 0 c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9 V: a = -2, b = 0 ja c = -9

Kirjan esimerkki 2, sivu 96

3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 260) Ratkaise yhtälöryhmät a) (-1) V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0

11x = -11z + 11 | :11 Sijoitus: 3(-z + 1) + y + 2z = 5 b) 3 11x = -11z + 11 | :11 x = -z + 1 Sijoitus: 3(-z + 1) + y + 2z = 5 -3z + 3 + y + 2z = 5 y = z + 2 x = 1 – z, y = z +2, z  R V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t  R

c) (-1) V: Ei ratkaisua

3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia E.1. (t. 264) Ratkaise yhtälöryhmä Valitaan osaryhmä (-5) -18x = 18 x = -1 5x - z + 3 = 0 7x - 5z - 3 = 0 z: 5  (-1) – z = -3 z = -2 y: 3  (-1) + y – 2  (-2) – 4 = 0 y = 3

V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2 Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0 Sijoitus: 5  (-1) – 3  3 – 4  (-2) + 6 = 0 0 = 0 tosi V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2 *************

Yhtälö keskipistemuodossa (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 , 4.1 YMPYRÄ Yhtälö keskipistemuodossa (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 , missä keskipiste on (x0,y0) ja säde on r. P0(x0,y0) E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 42 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde? (1, 3) r = 2

Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa * Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde. E.3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee pisteen (5,-1) kautta? (x – 2)2 + (y – 3)2 = 52 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa y-akselia? r = 3 (x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat

4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa x2 + y2 + ax + by + c = 0 E.6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa. x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 3 x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0 E.7. Mikä on ympyrän x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde? x2 – 2x + y2 + 4y = 4 x2 – 2x + 1+ y2 +4y + 4 = 4 + 1 + 4 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 V: K = (1,-2) , r = 3

Yleisen yhtälön x2 + y2 + ax + by + b = 0 kuvaajat E.8. Mikä on yhtälön a) x2 + y2 - 4x + 8y + 20 = 0 b) x2 + y2 - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja? a) x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y + 4)2 = 0 Kuvaaja piste (2, -4) b) x2 – 10x + 25 + y2 + 12y + 36 = -62 + 25 + 36 (x – 5)2 +(y + 6)2 = -1 Ei kuvaajaa E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x2 + y2 + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä? x2 +2x + 1 + y2 – 4y + 4 = -a + 1 + 4 (x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5 Ympyrä, jos - a + 5 > 0 a < 5

Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminen Ratkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari. E.10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x2 + y2 = 16 leikkauspisteet. x2 + (x – 4)2 = 16 x2 + x2 – 8x + 16 = 16 2x2 – 8x = 0 2x(x – 4) = 0 x = 0 tai x – 4 = 0 x = 4 y sijoittamalla: y = 0 – 4 = -4 y = 4 – 4 = 0 V: (0, -4) ja (4, 0)

Ratkaisukaavalla: y1 = 1 y2 = 2 E.11. Laske ympyröiden x2 + y2 = 5 ja x2 + y2 - 2x - 6y + 5 = 0 leikkauspisteet.  (-1) 2x + 6y – 5 = 5 2x + 6y = 10 Ratkaisukaavalla: y1 = 1 y2 = 2 x1 = -3  1 + 5 = 2 x2 = -3  2 + 5 = -1 V: (2,1) , (-1,2)

4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa * tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä vastaan * keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista

E.12. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö? Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä (4 – 1)2 + (3 – 2)2 = 10 (x0, y0) = (1, 2) Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin: tangentin yhtälö: y - 3 = -3(x – 4) 3x + y – 15 = 0

E.13. Mikä on ympyrän x2 + y2 = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2x suuntainen? K = (0, 0) tangentin yhtälö y = 2x + c 2x – y + c = 0 V: y = 2x  c

E.14. Laske pisteen (0,-5) kautta kulkevien ympyrän x2 + y2 = 5 tangenttien yhtälöt 02 + (-5)2 = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on y + 5 = k(x – 0) kx – y – 5 = 0 x0, y0 = (0, 0) ja säde Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista: 2x – y – 5 = 0 -2x – y – 5 = 0  2x + y + 5 = 0

Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin suuntainen Yhtälön y - y0 = a(x - x0)2 kuvaaja on paraabeli, jonka huippu on pisteessä (x0,y0) ja joka on yhtenevä paraabelin y = ax2 kanssa akseli on y-akselin suuntainen, x = x0

E.1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x2 + 3 b) y = x2 + 2x

Huipun laskeminen Sievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu. E.2. Laske paraabelin y = x2 - 4x + 5 huippu y – 5 = x2 – 4x y – 5 + 4 = x2 – 4x + 4 y – 1 = (x – 2)2 Huippu pisteessä (2, 1) Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja x-akselin leikkauspisteiden avulla: x0 on leikkauspisteiden keskiarvo y0 saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön

Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen E.3. Laske paraabelin y = x2 - 2x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet. y sijoittamalla: y1 = 2 – 5 = -3 y2 = 1 – 5 = -4 V: (2, -3) ja (1, - 4) x1 = 2 , x2 = 1

Paraabelin tangentin laskeminen E.4. Mikä on a, kun suora y = x + a sivuaa paraabelia y = x2 - 3x + 1? D = (-4)2 – 4  1  (1 – a) = 16 – 4 + 4a = 12 + 4a D = 0: 12 + 4a = 0  4a = -12 a = -3 V: y = x - 3