1.2.1 KÄÄNTEISFUNKTIO JA SEN KUVAAJA

Funktio f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita, jos f(g(x)) = x ja g(f(x)) = x y = f(x)  x = g(y) eli y = f(x)  x = f -1(y) Siis merkintä funktion f käänteisfunktiolle: f -1 E.2. (t. 21 a) Tutki, ovatko funktiot f ja g toistensa käänteisfunktioita f(x) = 4x + 5 V: ovat

E.3. Funktiolla f on käänteisfunktio. f(1) = 2, f(2) = 3 ja f(3) = 1. Mitä on a) f -1(1) b) f -1(2) c) f -1(3)? a) 3 b) 1 c) 2

Käänteisfunktion arvon laskeminen alkuperäisen funktion avulla Jos pitää laskea f -1(y) = x. Tehdään yhtälö f(x) = y, josta ratkaistaan x. E.4. Funktiolla f(x) = 2x - 1 on käänteisfunktio. Määritä x, kun a) f -1(x) = 5 b) f -1(7) = x. a) f(5) = 2  5 – 1 = 9 b) f(x) = 7 : 2x – 1 = 7 x = 4

Käänteisfunktion lausekkeen muodostaminen 1) Merkitse y = f(x) 2) Ratkaise siitä x 3) Vaihda x « y 4) Kirjoita muodossa y = f -1(x) E.5. Laske f -1(x), kun a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = x2 - 3, x > 0 a) y = 2x +3 2x = y – 3 x = ½y – 1½ y = ½x – 1½ f -1(x) =½x – 1½

b) y = x2 – 3 x2 = y + 3 y2 = x + 3 f -1(x)

Käänteisfunktion kuvaaja Funktion ja käänteisfunktion kuvaajat ovat peilikuvia suoran y = x suhteen Käänteisfunktion kuvaajan piirtäminen alkuperäisen funktion kuvaajan avulla Tee alkuperäiselle funktiolle lukuparitaulukko. Käänteisfunktion lukuparitaulukon saa vaihtamalla x <-> y Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste on funktion kuvaajan ja suoran y = x leikkauspiste

E.6. Piirrä funktion f(x) = x2 - 2x - 3, x ³ 1 kuvaaja ja sen perusteella käänteisfunktion kuvaaja. x f(x) (x,y) f -1 1 -4 (1,-4) (-4,1) 2 -3 (2, -3) (-3, 2) 3 0 (3, 0) (0, 3) 4 5 (4, 5) (5, 4)

Funktion ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste on funktion kuvaajan ja suoran y = x leikkauspiste E.7. Laske funktion f(x) = x3 + x - 8 ja sen käänteisfunktion kuvaajien leikkauspiste. y = x3 + x – 8 y = x x = x3 + x – 8 x3 = 8 x = 2 y = 2

1.2.2. Käänteisfunktion olemassaolo Jos funktio on (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä, niin funktiolla on käänteisfunktio E.8. Osoita, että funktiolla f(x) = x3 + 4x - 5 on käänteisfunktio. f’ (x) = 3x2 + 4  4 > 0 kaikilla x, joten funktio f on aidosti kasvava => funktiolla f on käänteisfunktio

Käänteisfunktion olemassaolo laskemalla käänteisfunktion lauseke Jos ratkaistaessa x:ää y:n avulla, saadaan vain yksi x, on funktiolla käänteisfunktio E.9. Onko funktiolla a) f(x) = x2 b) f(x) = x3 käänteisfunktiota? a) V: ei b) V: on

Funktion ja sen käänteisfunktion arvo- ja määrittelyjoukot Mj(f -1) = Aj(f) ; Aj(f -1) = Mj(f) E.10. Funktiolla f: [1,2] ->[3,4] on käänteisfunktio. Mitä on a) Mj(f -1) b) Aj(f -1)? a) [3,4] b) [1,2]