Harjoitustehtävät Mereologia ja sen soveltaminen Laskuharjoitus 1 M. Keinänen

Tehtävät HT1: P3. ¬(x « x) (irrefleksiivisyys) seuraa alla olevista PA1. x « y → ¬ (y « x) (asymmetrisyys) PA2. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) (transitiivisuus) HT2: olla osa-relaatio toteuttaa seuraavat ehdot (x < x) (refleksiivisyys) ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys) HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia. HT4: P13 seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta.

HT1 x « y → ¬ (y « x) ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z)  x(x « x)Oletus 2. (a « a)ES 1 a/x 3.  x  y((x « y) → ¬ (y « x))AKS. 4. (a « a) → ¬ (a « a)US 3 a/x, a/y 5. ¬ (a « a)MP 2,4, RR 6.  x ¬(x « x) ¬oletus

HT2 HT2: olla osa-relaatio ”<” toteuttaa seuraavat ehdot: A) (x < x) (refleksiivisyys) B) ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z) (transitiivisuus) C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) (antisymmetrisyys) Osoitetaan että ((x « y) ν (x = y)) toteuttaa nämä ehdot. A) 1.  x(x = x)Id aks. 2. (x = x)US 1 x/x 3. ((x « x) ν (x = x)) taut, MP 2 4. (x < x)MÄÄR. 5.  x(x < x)UG. 4

HT2 B) transitiivisuus 1.((x « y) Λ (y « z)) → (x « z)) AKS. US x/x y/y z/z 2.((x < y) Λ (y < z))Premissi 3. ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « z) ν (y = z)) 2, MÄÄR. 4. ((x « y)Λ(y « z))ν((x « y)Λ(y = z))ν((x = y) Λ(y « z)) ν ((x = y)Λ (y = z))Taut. MP 5. (x « z) ν (x « z) ν (x « z) ν (x = z)4, AKS, ID, Lausel 6. (x < z)5, lausel. MÄÄR 7. ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) CP 5,6, MÄÄR. 8.  x  y ((x < y) Λ (y < z)) → (x < z)) UG 7.

HT2 C) ((x < y) Λ (y < x)) → (x = y) 1.((x < y) Λ (y < x)) prem. 2.((x « y) → ¬(y « x)) AKS. US x/x, y/y 2A. ((x « y) Λ (y « z)) → (x « z) AKS. US x/x, y/y 3. ((x « y) ν (x = y)) Λ ((y « x) ν (y = x)) 1, MÄÄR 4. ((x « y) Λ (y « x)) ν ((x « y) Λ (y = x)) ν ((x = y) Λ (y « x)) ν ((x =y) Λ (y = x)) 3, lauselogiikka 5. (x « x) ν (x « x) ν (x « x) ν (x = y) 2A, 4, ID, lauselogiikka Eliminoidaan 2:n kanssa ristiriidassa olevat disjunktit ja saadaan (x = y).

HT3 HT3: heikko täydennysperiaate seuraa vahvasta täydennysperiaatteesta, jos oletetaan perusmereologia. x « y → (  z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x)) ¬(x < y) → (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)) Todistuksen perusidea 1. x « y oletus 2. ¬ (y < x) (prem. 1 seuraus) 3. (  z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) (VTP, 2)

HT3  x  y (¬(x < y) → (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)))SSP ├  x  y((x  « y) → (  z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x)))WSP 1.  x  y (¬(x < y) → (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y)) PR1 2. x « y apupremissiPR2 3. (y < x) ↔ ((y « x) ν (y = x)) US x/x, y/y MÄÄR. 4.  x  y ((x « y) → ¬(y < x))Lemma 5. ¬(x « x)US Teor. x/x 6. ¬(x = y)MP 2,5, lausel. 7. x « y → ¬(y « x)US AKS. x/x, y/y 8. ¬(x = y) Λ ¬(y « x)MP t., 2,6,7 8A. ¬(y < x)3, lauselogiikka 8B. (x « y) → ¬(y < x)CP 2,…8A Lemma 4 todistettu

HT3 9. ¬(y < x) → (  z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) US 1 x/x,y/y 10. x « y → (  z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) 8B, (  z)((z < y) Λ ¬ (z ○ x)) MP 2,4, (t < y) Λ ¬ (t ○ x)) ES. t = txy 13. ((t « y) ν (t = y)) Λ ¬ (t ○ x))MÄÄR A.((t « y) Λ ¬ (t ○ x))ν ((t = y) Λ ¬ (t ○ x)) Lauselogiikka ((t = y) Λ ¬ (t ○ x)) apuoletus 15. ¬ (y ○ x)IK, (x < x)teoreema, US 17.(x < y)2, MÄÄR, MP 18. (x < y) Λ (x < x))16,  w((w < y) Λ (w < x)) EG. 18(uusi muuttuja) 20. (y ○ x) 19, MÄÄR

HT3 20A. ¬ (y ○ x) Λ (y ○ x)RR 21. (t « y) Λ ¬ (t ○ x) (  z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))EG. 22, z 23. (x  « y) → (  z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))CP. 2…23  x  y((x  « y) → (  z)((z « y) Λ ¬ (z ○ x))) UG. 23

HT4 Väite:  x  y (¬ (x < y) → (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ x))) ├ (  z)((z « x) Λ  x  y (  z((z « x) → (z « y)) → (x < y))) Todistetaan: ├ (  z)((z « x)) Λ  x  y (¬ (x < y) → (  w)((w « x) Λ ¬ (w « y)) Todistuksen perusidea (  z)((z « x)) Λ ¬ (x < y)premissi (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ x))SSP (¬ (x ○ y) Λ (z « x)) → ¬ (z « y) MÄÄR. ¬ (x ○ y) → (  z)((z « x) Λ ¬ (z « y)) (x ○ y) Λ ¬ (z ○ y) → ¬ (z = x)MÄÄR. ((x ○ y) Λ (z < x) Λ ¬ (z ○ y)) → ((z « x) Λ ¬ (z « y)) ((x ○ y) Λ (z < x)) → (  z)((z « x) Λ ¬ (z « y)) ((x ○ y) ν (¬ (z ○ y)) (  z)((z « x) Λ ¬ (z « y))

HT4 A1. (  z)((z « x)) Λ ¬ (x < y)premissi A2. ¬ (x < y) → (  z)((z < x) Λ ¬ (z ○ y))premissi, US x/x, y/y 1.¬ (x ○ y) ↔  z ¬ ((z < x) Λ (z < y))MÄÄR. Kvant. 2.¬ (x ○ y)APUPREM. 3. (a « x)ES A1 a/y, a=axyz 4.¬ ((a < x) Λ (a < y)) MP, US 1,2 a/z 5.(a < x) → ¬ (a < y)MP, Lausel. 4 6.(a « x) → ¬ (a « y)MÄÄR., Lausel (a « x) Λ ¬ (a « y)3, (  w((w « x) Λ ¬ (w « y))EG 9 (uusi var.) 10A. ¬(x ○ y) → (  w((w « x) Λ ¬ (w « y))CP

HT4 11A. (x ○ y) APUPR. 11B. ¬ (x < y) → ((a < x) Λ ¬ (a ○ y))ES A2. a/z 11C. ((a < x) Λ ¬ (a ○ y))A1, 11B MP 12. ((x ○ y) Λ ¬ (a ○ y)) → ¬ (a = x)id. lausel. 13. (¬ (a = x) Λ (a < x)) → (a « x)Määr. < 14. ¬ (a ○ y) 11C 15. ¬ (a ○ y) ↔  v¬ ((v < a) Λ (v < y)) 16. ¬ ((a < a) Λ (a < y))US 15 a/v 17. ¬ (a < y) 18. ¬ (a « y)17 MÄÄR. 19.((x ○ y) Λ (a < x) Λ ¬ (a ○ y)) → ((a « x) Λ ¬ (a « y)) 12, 13, (x ○ y) → ((a « x) Λ ¬ (a « y))11…,20, CP

HT4 22.(x ○ y) → (  w)((w « x) Λ ¬ (w « y))EGEN ((x ○ y) ν ¬ (x ○ y)Taut. 24. (  w)((w « x) Λ ¬ (w « y))11A, (  z)((z « x)) Λ ¬ (x < y) → (  w)((w « x) Λ ¬ (w « y)) 26.  x  y (  z ((z « x)) Λ ¬ (x < y) → (  w)((w « x) Λ ¬ (w « y))) UG 25

HT5 P13.  x  y (  z (z « x) → (  z)((z « x) → (z « y)) → (x < y))) ├  x  y((  z (z « x) → (  z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))) 1.(  z)(z « x) → (  z((z « u) → (z « v)) → (u < v)))US u/x, v/y, PR1 1A. (  z)(z « x) → (  z((z « v) → (z « u)) → (v < u)))US v/x, u/y, PR1 2.(a « u) → (  z ((z « u) → (z « v)) → (u < v)))ES a/z, a= axy 2A. (a « u) → (  z ((z « v) → (z « u)) → (v < u)))ES a/z, a=axy 3. (a « u)Apupremissi, 4.((t « u) → (t « v)) → (u < v))MP, US t/z 2, 3 5.((t « v) → (t « u)) → (v < u))MP, US t/z 2A, 3 6. ((t « u) ↔ (t « v)) → ((u < v) Λ (v < u))4,5, lauselogiikka 7. ((t « u) ↔ (t « v)) → (u = v)6, teoreema < 8. Käänteinen: identiteetin korvattavuus 9. ((t « u) ↔ (t « v)) ↔ (u = v)7,8

HT5 10. (  z)((z « u) ↔ (z « y)) ↔ (x = y)UG9 z/t 11.  z((z « u) → (  z)(((z « u) ↔ (z « u)) ↔ (u = v))))Apup. EG 12.  x  y  z((z « x) → (  z (((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))))UG u/x, v/y P14. (  z)((z « x) ν (z « y)) → ((  z)((z « x) ↔ (z « y)) ↔ (x = y))