MAB8: Matemaattisia malleja III

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

Funktiot sini, kosini ja tangentti

Advertisements

MB 3 Lineaarisia polynomifunktioita

Pisteellä ei ole ulottuvuutta. Sitä merkitään isolla kirjaimella.

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Kuperan linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

Kolmion ominaisuuksia 2

Analyyttinen geometria MA 04

Koska valo kulkee nopeudella c, on myös totta

Nopeus s t v nopeus = matka: aika v = s :t

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Iitin yläkoulu 9. Luokka Antti Halme

Derivaatta MA 07 Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa.

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät

Taylor polynomi usean muuttujan funktiolle

MAB8: Matemaattisia malleja III

1.2. Perusyhteydet ja –kaavat Suplementtikulmat x ja  - x

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

1.1. Reaaliluvun sini, kosini ja tangentti

Janan keskinormaali A A ja B ovat janan päätepisteet ja M sen keskipiste. M Janan keskinormaali on kohtisuorassa janaa vastaan sen keskipisteessä. AM =

TÄRPPEJÄ – YO 2010 PITKÄ MATEMATIIKKA.

LINEAARINEN MUUTOS JA KULMAKERROIN

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

SATE1110 SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA

3.1.2 Skalaaritulo eli pistetulo

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA

Murtoyhtälöt - Yhtälö, jossa nimittäjässä tuntematon

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ympyrään liittyviä lauseita

1. Usean muuttujan funktiot

Vektorin komponentit 2 vektoria määrittävää tason, kun E.1.

Koveran linssin piirto- ja laskutehtävä 2005

*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus.

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE11XX SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA (LISÄOSA) 6.TASOAALTOJEN POLARISAATIO.

2.2.2 Avaruuden vektori koordinaatistossa

KESKIVIIKKO KOTITETEHTÄVÄT. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Suoran yhtälön muodostaminen

2.1.2 Tason vektori koordinaatistossa

7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella. Keskuskulma =

Liike Nopeus ja kiihtyvyys.

UMF I Luento 3. Maanantaiksi Lue kappaleet I.3 ja I.4 Laske funktion x + y 2 osittaisderivaatat määritelmän II.1.1 nojalla Anna esimerkki funktiosta f.

Paraabelin huippu Paraabelin huippu

Suora Suorien leikkauspiste Yhtälöparin ratkaisu

3.3. Käyrän tangentti ja normaali

3.1. SOVELLUKSIA, pinta-ala

Neperin luku e ja funktio y = ex

Suorien leikkauspiste

VOIMIEN LAKEJA.

Funktio ja funktion kuvaaja

käsite Hessen matriisi. Aluksi asetetaan seuraava

Funktion kuvaajan piirtäminen

Vektorit Trigonometria

1.Peruskäsitteitä vektoreista

Vuorovaikutus ja voima

Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.

MATEMAATTISIA MALLEJA I Mab 3 Meri Sirkeinen Siikajoen lukio.

Laske päässä. Potenssi Kolmioita Tasakylkinen kolmio kaksi yhtä pitkää kylkeä kantakulmat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180°. Tasasivuinen.

Syventävä matematiikka 2. kurssi

3. PYTHAGORAS a Esim. 1 Nimeä kolmion β b α c a) hypotenuusa c

3 Suureyhtälöt Fysiikan tehtävän ratkaisu:

Stabiilit monistot ja kriisit

1.4.2 Vektorien määräämä avaruus

YHTÄLÖPARI 1.1. Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä

Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Koordinaatistot Sähkötekniikka/MV

Vektori A ja skalaari A Vektoria merkitään konekirjoitetussa tekstissä joko vahvennetulla vinolla suurekirjasimella (A) tai vinon suurekirjaimen päällä.

Esityksen transkriptio:

MAB8: Matemaattisia malleja III Vektorit kaksiulotteisessa koordinaatistossa

Kantavektorit Otetaan käyttöön kantavektorit i ja j. Kantavektori i on positiivisen x-akselin suuntainen vektori. Kantavektori j on positiivisen y-akselin suuntainen vektori. Jokainen xy-tason vektori voidaan ilmaista näiden kahden kantavektorin avulla muodossa: a = xi + yj y = 7 x = 5 a = 5i + 7j

Kantavektorit Esimerkki: Mitkä ovat kuvassa olevat vektorit

Kantavektorit Esimerkki: Mitkä ovat kuvassa olevat vektorit a = 3i + 2j b = 2i - 5j c= -4i + 5j

Kantavektorit Esimerkki: Piirrä seuraavat vektorit a = -4i - 2j b = 4i + 3j c = -i + 6j

Kantavektorit Esimerkki: Piirrä seuraavat vektorit a = -4i - 2j b = 4i + 3j c = -i + 6j

Laskutoimitukset Esimerkki: Määritä vektori: , kun ja Ratkaisu:

Laskutoimitukset Esimerkki: Määritä vektori: , kun ja Ratkaisu: Sijoita Poista sulut Yhdistä termit

Paikkavektori Pisteen A (x,y) paikkavektori

Paikkavektori Esimerkki: Määritä Pisteen A (5,-3) paikkavektori Ratkaisu:

Paikkavektori Esimerkki: Määritä Pisteen A (5,-3) paikkavektori Ratkaisu:

Paikkavektori Esimerkki: Vektorin alkupiste on A(5,6). Määritä vektorin päätepiste B. Ratkaisu:

Paikkavektori Esimerkki: Vektorin alkupiste on A(5,6). Määritä vektorin päätepiste B. Ratkaisu: Vastaus: Päätepiste on B(-3,4)

Paikkavektori Esimerkki: Määritä paikkavektoreiden avulla vektori AB, kun piste A(4,5) ja B(-3,2) Ratkaisu:

Paikkavektori Esimerkki: Määritä paikkavektoreiden avulla vektori AB, kun piste A(4,5) ja B(-3,2) Ratkaisu:

Vektori AB Pisteestä A(x1,y1) pisteeseen B(x2,y2) piirretty vektori AB

Vektorin pituus Vektorin pituus saadaan Pythagoraan lauseella:

Vektorin pituus Esimerkki: Laske vektorin AB pituus, kun A(-2,3) ja B(4,7) Ratkaisu:

Vektorin pituus Esimerkki: Laske vektorin AB pituus, kun A(-2,3) ja B(4,7) Ratkaisu:

Yksikkövektori Vektorin a suuntainen yksikkövektori: Esimerkki: Määritä vektorin suuntainen yksikkövektori Ratkaisu:

Yksikkövektori Vektorin a suuntainen yksikkövektori: Esimerkki: Määritä vektorin suuntainen yksikkövektori Ratkaisu:

Yksikkövektori Esimerkki: Määritä vektorin suuntainen vektori b, jonka pituus on 7. Ratkaisu:

Yksikkövektori Esimerkki: Määritä vektorin suuntainen vektori b, jonka pituus on 7. Ratkaisu: Vektorin a pituus: Yksikkövektori