1.Peruskäsitteitä vektoreista

Slides:

Advertisements

Samankaltaiset esitykset

TRIGONOMETRIAN KERTAUSTA

Advertisements

Funktiot sini, kosini ja tangentti

Mette Vedelsby, CVUSJ./Efelcren Isometriat ja Symmetriat.

MAB8: Matemaattisia malleja III

Pisteellä ei ole ulottuvuutta. Sitä merkitään isolla kirjaimella.

5.1. Tason yhtälö a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Kolmion ominaisuuksia 2

Vuorovaikutuksesta voimaan

Rakenteinen ohjelmointi

5 SÄHKÖINEN VOIMA.

AS Automaation signaalinkäsittelymenetelmät

MAB8: Matemaattisia malleja III

KULMAN PUOLITTAJA Kulman puolittaja on kulmaan kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi. k a/2 k Uraehto: Kulman puolittaja.

1.1. Itseisarvo * luvun etäisyys nollasta E.2. Poista itseisarvot

1.1. Reaaliluvun sini, kosini ja tangentti

Janan keskinormaali A A ja B ovat janan päätepisteet ja M sen keskipiste. M Janan keskinormaali on kohtisuorassa janaa vastaan sen keskipisteessä. AM =

2.4. Raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ääretön E.1.

3.1.2 Skalaaritulo eli pistetulo

Kinematiikka Newtonin lait: Voima Statiikka Mikko Rahikka 2000

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA

Ympyrään liittyviä lauseita

Aikasarja-analyysin perusteet

Algoritminen ajattelu

Vektorin komponentit 2 vektoria määrittävää tason, kun E.1.

*14. Kolmiossa yksi kärki on origossa, toinen pisteessä A= (9, 0), B=(3,6) Osoita, että kolmion pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen tilavuus.

OTTELUKIERROKSET - JOUKKUEET SJAL tuomarikoulutus 2013.

PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)

Vaasan yliopisto / Sähkötekniikka SATE11XX SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄTEORIA (LISÄOSA) 6.TASOAALTOJEN POLARISAATIO.

2.2.2 Avaruuden vektori koordinaatistossa

KESKIVIIKKO KOTITETEHTÄVÄT. Siis suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

© Jukka Juslin1 Osio2 Olio-ohjelmointi: Merkkijonot eli Stringit Jukka Juslin.

2.1.2 Tason vektori koordinaatistossa

VUOROVAIKUTUKSET Kaksi kappaletta ovat keskenään vuorovaikutuksessa, jos ne vaikuttavat jotenkin toisiinsa. Vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa.

Newtonin ensimmäinen laki

Suorien leikkauspiste

Jäämistöoikeuden laskennalliset ongelmat

Voima liikkeen muutoksen aiheuttajana

Kotitehtävän 8 ratkaisu Janne Kunnas Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet.

Janne Korhonen. Henkilöhistoria Syntyi 1815 alaluokan perheeseen Isä kannusti opiskeluun Toimi myöhemmin opettajana Lopulta päätyi perustamaan oman koulun.

MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Kiihtyvyys Kuvaa nopeuden muutosta.

Tasogeometria Peruskäsitteinä piste ja suora. Suora AB = Suora l

Vektorit Trigonometria

Vuorovaikutus ja voima

LUKUSUORA JA LUKUVÄLIT

Mitä osattava (minimivaatimus)?. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen –Huom! Määrittelyehdot Peruslaskutoimitukset –polynomien erityisesti binomin.

MA5 Trigonometria. TrigonometriaTrigonometria Kolmion pinta-ala on puolet kannan ja kantaa vastaan piirretyn korkeusjanan pituuksien tulosta Kolmion pinta-ala.

Laske päässä. Potenssi Kolmioita Tasakylkinen kolmio kaksi yhtä pitkää kylkeä kantakulmat yhtä suuret. Kolmion kulmien summa on 180°. Tasasivuinen.

13. Nopeus kuvaa liikettä Nopeus on suure, joka kertoo kuinka kappaleen paikka muuttuu ajan suhteen. Nopeus on vektorisuure. Vektorisuureen arvoon liittyy.

Voimat syntyvät vuorovaikutuksista Joni Lämsä

Vaalit Suomessa.

Vaalit Suomessa.

Syventävä matematiikka 2. kurssi

3. PYTHAGORAS a Esim. 1 Nimeä kolmion β b α c a) hypotenuusa c

VUOROVAIKUTUKSET Kaksi kappaletta ovat keskenään vuorovaikutuksessa, jos ne vaikuttavat jotenkin toisiinsa. Vaikutukset havaitaan molemmissa kappaleissa.

Algoritminen ajattelu

SUUREET JA MITTAAMINEN

1.4.2 Vektorien määräämä avaruus

Kuutio 2. Geometrisia kuvioita

YHTÄLÖPARI 1.1. Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä

Tasaisen liikeen malli

Hypotenuusa Muistathan, että hypotenuusa on suorakulmaisessa kolmiossa

PAIKANMÄÄRITYS III Trigonometriset menetelmät

Vieruskulma ja ristikulma

Kulma Matematiikka 7. luokka

Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0)

Samankohtaiset kulmat

SATE2180 Kenttäteorian perusteet Koordinaatistot Sähkötekniikka/MV

Vektori A ja skalaari A Vektoria merkitään konekirjoitetussa tekstissä joko vahvennetulla vinolla suurekirjasimella (A) tai vinon suurekirjaimen päällä.

Esityksen transkriptio:

1.Peruskäsitteitä vektoreista Vektorilla on suunta ja suuruus. Vektorisuureet vs. Skalaarisuureet. Vektorin a pituus: |a| Tehtävä 3 a) a b

Vektoreiden yhdensuuntaisuus a) samansuuntaiset vektorit b) vastakkaissuuntaiset vektorit Molemmissa tapauksissa vektorit ovat yhdensuuntaiset! b a a b a b b a ¯ Nollavektori = Vektori, jonka pituus on 0. Merkitään 0.

Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. a = b Vektorit ovat toistensa vastavektorit, jos ne ovat vastakkaissuuntaiset ja yhtä pitkät. a = -b Tehtävä 3 b) ja c) a b a b Tehtäviä: s. 13-16 t. 1,2,4,11,12 ja 13

2. Peruskäsitteitä vektoreista Toinen tapa merkitä vektoreita: ● ● AB ● ● DC Tehtävät 5 ja 6, s. 14. (esimerkkinä) Tehtäviä: s. 14-15, t. 7, 14, 15 (Loput kotiin) B A C D

3. Vektorien välinen kulma Asetetaan vektorit a ja b alkamaan samasta pisteestä. Merkitään (a,b) Huom! (a,b) ≤ 180° Esim. Jos a b  (a,b)=0°, jos a b  (a,b)=180° b a b a (a,b)

Esimerkki Esim. Määritä kuvan kolmion sivuvekto-reiden a, b ja c välisten kulmien suuruudet. (a,b)= b (a,c)= c 110° 30° a (b,c)= Tehtäviä: s.14-16, t. 8-10, 16-19.