MB5 YHTEENVETO Todennäköisyyslaskenta

Klassinen todennäköisyys Suotuisten tapahtumien lukumäärä Kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä Todennäköisyys = P (A) =

Todennäköisyys P(A) Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys Varman tapahtuman todennäköisyys 1 0 < P(A) < 1 0% < P(A) < 100%

Todennäköisyyden yhteenlaskusääntö TAI  Yhteenslasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A tai B) = P(A) + P(B)

ESIMERKKI P(pataässä) + P(hertta) Otetaan korttipakasta kortti. P(kortti on joko pataässä tai hertta) P(pataässä) + P(hertta)

Todennäköisyyden kertosääntö JA, Molemmat  Kertolasku Jos tapahtumat A ja B eivät mitenkään vaikuta toisiinsa eli ovat toisistaan riippumattomia, niin P(A ja B) = P(A) . P(B)

ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa umpimähkään pussista kuulan, palauttaa sen pussiin ja ottaa toisen kuulan P(molemmat kuulat sinisiä) = ? P(eka sininen JA toka sininen)

Todennäköisyyden kertosääntö Jos tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippuvia P(ensin A ja sitten B) = P(A) . P(B, kun A on tapahtunut) B-tapahtumassa otetaa huomioon muuttunut tilanne: suotuisat muuttuneet kaikki muuttuneet jne.

ESIMERKKI Pussissa on 5 sinistä, 3 valkoista ja 7 mustaa kuulaa. Pelaaja ottaa peräkkäin pussista kaksi kuulaa palauttamatta kuulaa välillä pussiin. P(molemmat kuulat sinisiä) Eka Toka

Mikä on todennäköisyys, että pakasta nostetaan peräkkäin 4 ässää?

A:n vastatapahtuma ei-A Tapahtuma A Vastatapahtuma (=ei-tapahtuma) eiA Todennäköisyyksien summa = 1 = 100 % P(A) + P(eiA) = 1 = 100 % P(A) = 1 – P(eiA) P(eiA) = 1 – P(A) Yleensä: Ainakin yksi  Vastatapahtuman avulla

ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki ovat sunnuntailapsia) Eka toka kolmas neljäs

ESIMERKKI Perheeseen syntyy neljä lasta P(A)= P(kaikki eri viikonpäivinä)

AINAKIN ... P(A ainakin 1 kertaa) = 1 - P(A 0 kertaa) A= Ainakin yhden kerran = 1,2,3, … kertaa vastatapahtuma = eiA = ei kertaakaan= 0 kertaa P(A ainakin 1 kertaa) = 1 - P(A 0 kertaa) 1 – P(ei kertaakaan)

Millä todennäköisyydellä 4 lapsesta ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina? P(ainakin yksi on syntynyt sunnuntaina) = 1 – P(kaikki syntyneet ei-Su) eka toka kolmas neljäs

ESIMERKKI P(ainakin 1) = 1 – 0,9510 = 0,40126 ≈ 40 % Tullissa tarkastetaan sattumanvaraisesti 5% matkailijoista. Kuinka suuri on todennäköisyys, että 10 hengen seurueesta ainakin 1 joutuu tarkastukseen? tarkastus p = 0,05 ei-tarkastus = 1 – 0,05 = 0,95 P(ainakin 1) = 1 – P(ei yhtään joudu tarkastukseen) P(ainakin 1) = 1 – 0,9510 = 0,40126 ≈ 40 %

Todennäköisyys Erilaisia vaihtoehtoja Peräkkäiset tapahtumat ”ensin A, sitten B” -viittaavat kertolaskuun Rinnakkaiset tapahtumat ”A tai B” viittaavat yhteenlaskuun

Jonon järjestyksiä n alkiota voidaan järjestää jonoon n! = 1 .2 . 3 … n eri tavalla Kuinka monella eri tavalla viisi erilaista pelinappulaa voidaan asettaa pelilaudalle peräkkäin? 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 eri tavalla

Valintoja: alijoukkoja isommasta joukosta Kuinka monta erilaista k:n alkion ryhmää voidaan valita n :stä alkiosta? Laskimessä yleensä nCr

ESIMERKKI Kuinka monella eri tavalla voidaan 10:stä henkilöstä valita 4 henkilöä?

Todennäköisyys saada lotossa 7 oikein yhdellä rivillä Yksi mahdollisuus noin 15 miljoonasta

Todennäköisyys saada Viking-lotossa 6 oikein 48 numeron joukosta 6 oikein: Yksi mahdollisuus noin 12 miljoonasta

Lotossa kaikki 7 väärin Lotossa numeroita 39, niistä ”oikeita” 7 Joten ”vääriä” numeroita 39 – 7 = 32 kpl Vääriä 7:n rivejä yhteensä Kaikki rivit Kaikki vääriä: rastitettu 7 numeroa 32:n joukosta

Lotossa yhdellä rivillä ainakin yksi Numero oikein P(ainakin 1 oikein ) = 1 – P(ei yhtään oikein) 1 – P(kaikki väärin) 1 – P(kaikki väärin) = 1 - 0,219 = 0,781 V: 0,78

KORTTIPELIN TODENNÄKÖISYYKSIÄ (Pakassa 52 korttia. 5 KORTIN KÄSI) 1) Kuinka monta eri kättä? 2) ”Herttareeti” = herttavärisuora = 10, jätkä, rouva kuningas,ässä (Kuningasvärisuora)

KORTTITODENNÄKÖISYYKSIÄ 4) P (ässäneloset) = ? 4 ässää ja yksi muu kortti Muita kortteja 52 – 4 ässää = 48 kpl Ässäneloset sisältäviä käsiä on siis 48 kpl

Miten monella eri tavalla voi veikata? Joka rivillä kolme vaihtoehtoa: 1, x, 2 3· 3 313 = 1 594 323 mahdollisuutta

Mikä on todennäköisyys veikata 13 oikein? Suotuisia veikkausrivejä 1 Kaikkia rivejä 313 Tai erikseen 13 ottelua, kukin 1/3

Tehtäviä: Kuinka monella eri tavalla 16 oppilasta voi tehdä jonon? Kuinka monella eri tavalla voidaan 16 oppilaan joukosta valita 4 oppilasta?

Harjoitus 5 Millä todennäköisyydellä 16 oppilaan joukossa ainakin kaksi on syntynyt samassa kuussa? Varma tapaus, koska kuukausia on enemmän kuin oppilaita Todennäköisyys = 1 = 100%

Tehtävä Kuinka monta kättelyä tarvitaan 16 oppilaan joukossa, jos kaikki kättelevät toisiaan? Siis kuinka monta erilaista kättelyparia voidaan muodostaa 16 oppilaasta

Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada a) kolme kymppiä ?

Tehtävä Ampuja osuu yleensä kymppiin joka viidennellä laukauksella. Hän ampuu kolme kertaa. Miten suuri mahdollisuus hänellä on saada b) ei yhtään kymppiä ? p = P(kymppi) = 1/5=0,20 P(ei-kymppi) = 0,80 0,8•0,8•0,8 = 0,512 = 51,2 %

Tehtävä Laskettelija kaatuu rinteessä 20% todennäköi -syydellä. Hän laskee kolme laskua peräkkäin. Millä todennäköisyydellä hän kaatuu ainakin yhden kerran. ”Ainakin kerran” Lasketaan vastatapahtuman avulla. P(kaatuu) = 0,20 p(ei-kaadu) = 0,80 P(kaatuu ainakin kerran) = 1 – P(ei kaadu kertaakaan)

HARJOITUS Seuran hallitus valitaan 9 ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun a) valitaan hallituksen jäsenet ja heille tehtävät

Tehtävä Valitaan siis 4 henkilö 9 joukosta: Seuran hallitus valitaan yhdeksän ehdokkaan joukosta. Hallituksen jäsenet tulevat olemaan puheenjohtaja, varapuheenjohtaja, sihteeri ja rahastonhoitaja. Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on vaalissa, kun b) valitaan neljä henkilöä hallitukseen ja annetaan heidän päättää myöhemmin keskinäisestä työnjaosta. Valitaan siis 4 henkilö 9 joukosta:

HARJOITUS Elossa olevia 100 000 syntynyttä kohti ikä naiset miehet 0 100 000 100 000 10 99 265 99 062 20 99 035 98 482 30 98 606 97 187 40 97 816 94 893 50 96 179 90 648 60 92 100 80 817 70 81 533 60 058 75 71 127 45 718 80 55 670 29 872 85 35 404 15 395 Laske tilaston mukaan seuraavien tapahtumien todennäköisyydet: a) Vastasyntynyt tyttö elää vähintään 70-vuotiaaksi. b) 30-vuotias mies elää vähintään 80-vuotiaaksi. c) 50-vuotias nainen elää 80-vuotiaaksi, mutta ei 85-vuotiaaksi.