3.3. Käyrän tangentti ja normaali 3.1. Käyrän pisteestä piirretty tangentti ja normaali Käyrän tangentti Tangentin kulmakerroin, kun tunnetaan sivuamispiste (x0,y0) kt = f ´(x0) eli tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo sivuamispisteen x-koordinaatin kohdalla E.13. Mikä on käyrän y = x2 - 3x + 4 kohtaan x = 5 piirretyn tangentin kulmakerroin? y’ = 2x -3 kt = y’(5) = 10 – 3 = 7
Tangentin yhtälön laskeminen, kun tunnetaan sivuamispiste Lasketaan kulmakerroin tiedosta kt = f ´(x0) ja tangentin yhtälö kaavalla y - y0 = kt(x - x0) E.14. Mikä on käyrän y = x2 + 2x - 3 pisteeseen (2,5) piirretyn tangentin yhtälö? y’ = 2x + 2 kt = y’(2) = 4 + 2 = 6 y – 5 = 6(x – 2) y = 6x – 7
Normaalin yhtälön laskeminen, kun tunnetaan normaalin ja käyrän leikkauspiste Lasketaan ensin tangentin kulmakerroin kt = f ´(x0) Normaalin kulmakerroin on tämän käänteisluvun vastaluku kn = - 1 / kt Yhtälö muodostetaan sitten pisteestä ja saadusta kulmakertoimesta E.´15. Mikä on käyrän y = 2x2 - 3x - 4 kohtaan x = 2 piirretyn normaalin yhtälö? y’ = 4x – 3 y’(2) = 5 = kt y = 2 22 – 3 2 – 4 = -2 5y + 10 = -x + 2 x + 5y + 8 = 0
3.3.3. Käyrän ulkopuolisesta pisteestä piirretty tangentti
E.18. Mikä on paraabelin y = x2 - 3x + 4 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = x suuntainen? kt = 1 (y =x) y’ = 2x – 3 2x – 3 = 1 2x = 4 x = 2 y = 22 – 3 2 + 4 y = 2 y – 2 = 1(x – 2) y – 2 = x – 2 y = x
Olkoon sivuamispiste (x0, y0): y0 = x02 – 2x0 + 2 y’ = 2x – 2 E.19. Mikä on paraabelin y = x2 - 2x + 2 sen tangentin yhtälö, joka kulkee pisteen (0,1) kautta? Olkoon sivuamispiste (x0, y0): y0 = x02 – 2x0 + 2 y’ = 2x – 2 y’(x0) = 2x0 – 2 Kulmakerroin myös: (suoralla pisteet (x0, y0) ja (0,1)) 1) x = 1: y = 12 – 2 1 + 2 = 1 k = 2 1 – 2 = 0 2) x = -1: y = (-1)2 – 2 (-1) + 2 = 5 k = 2 (-1) – 2 = -4 1) y – 1 = 0(x – 1) y = 1 2) y – 5 = -4(x + 1) y – 5 = -4x – 4 y = -4x + 1 Vastaus: y = 1 tai y = -4x + 1