1 Arrow’n teoreema Sosiaaliset hyvinvointifunktiot (Social welfare functions SWF) SWF f on sääntö tai prosessi, joka määrittää kullekin joukolle yksilöiden preferenssijärjestyksiä (eli ‘profiilille’) (R 1,...,R n ) jotka koskevat sosiaalisia tiloja, vastaavan sosiaalisen järjestyksen. (1)R = f(R 1,...,R n )

2 Yhteiskunnan preferenssijärjestys ja aggregointi Sosiaalinen järjestys R kuvaa ‘yhteiskunnan preferenssijärjestystä’. Se saadaan ‘aggregoimalla’ yksilöiden preferensseistä.

3 Valintajoukko ja sosiaaliset päätösfunktiot Valintajoukko C(S) on joukko vaihtoehtoja, jotka yhteisö valitsee jonkin päätöksentekoprosessin seurauksena kun valittavien vaihtoehtojen joukko on S  X. Sosiaalinen päätösfunktio muotoillaan seuraavasti: (2)C(S) = g(R 1,...,R n )

4 Condorcet ehto (Maksimaaliset elementit) (3) C(S) = [x  x  S&  y  S: xRy]. Arrow:n ehdot: 1.Rajoittamaton ala (Unrestricted domain) UD 2.Rationaalisuus (RAT) 3.Vahva Pareto (SP) 4.Irrelevanttien vaihtoehtojen riippumattomuus (Independence of irrelevant alternatives, IIA) 5.Ei-diktatorisuus (Nondictatorship, ND)

Ehdot Rajoittamaton ala (UD): Valintasäännön pitää pystyä valitsemaan jokin vaihtoehto kaikilla mahdollisilla preferenssiprofiileilla. Rationaalisuus: Yksilöiden ja yhteiskunnan preferenssit ovat täydellisiä ja transitiivisia. 5

Vahva Paretoehto Vahva Pareto (SP): x on yhteiskunnalle parempi kuin y jos kaikki yksilöt i pitävät x:ää ainakin yhtä hyvänä kuin y:tä ja ainakin yksi pitää x:ää parempana kuin y:tä: (4)  i  j: (xR i y) &  j: (xP j y)  xPy 6

IIA IIA: Sosiaalinen valinta joukosta vaihtoehtoja riippuu vain yksilöiden preferenssijärjestyksistä näille vaihtoehdoille (ordinaalinen welfarismi). (R 1,..,R n ) ja (R’ 1,...,R’ n ) edustavat kahta joukkoa n-kertoja yksilöiden preferenssijärjestyksiä (eli profiileja). C(S) ja C’(S) ovat vastaavat sosiaaliset päätösfunktiot.

8 Valintateoreettinen IIA: Jos yksilöiden kaikkia vaihtoehtopareja koskevat preferenssit ovat samoja kahdessa profiilissa (R 1,..,R n ) ja (R’ 1,...,R’ n ), sama valinta tehdään molemmista profiileista. (5)  i: (  x, y  S: xR i y  xR’ i y)  C(S) = C’(S). Relationaalinen IIA: Jos mille tahansa parille x, y  S, kaikille yksilöille i pätee: xR i y  xR i ’y ja yR i x  yR i ’x, f(R 1,..,R n ) ja f(R’ 1,...,R’ n ) järjestävät x:n ja y:n samalla tavalla.

9 Ei diktaattoria (ND): Yksi yksilö ei saa määrätä sosiaalista järjestystä. Ei siis ole yksilöä i s.e. (6)  x, y  X: xP i y  xPy. Arrow’n teoreema: Ei ole olemassa sosiaalista hyvinvointifunktiota, joka toteuttaa ehdot UD, RAT, SP, IIA, ja ND.

10 Todistuksen idea 1)Osoita, että on aina olemassa yksittäinen äänestäjä, joka pystyy määräämään (is decisive) valinnan jollekin vaihtoehtoparille (perustuu Condorcet paradoksiin). 2)Osoita, että jos tällainen henkilö pystyy määräämään valinnan tällä tavalla jollekin parille, hän voi tehdä sen kaikille pareille. 3)Tällainen henkilö on diktaattori.

11 Kaksi hyvinvointifunktion tulkintaa (Buchanan ja Sen) Päätöksenteko- mekanismi; Esimerkiksi äänestysmekanismi Sosiaalinen hyvinvointiarvostelma: Arvoarvostelma, joka perustuu yksilöiden preferenssijärjestyksiin

12 Kaksi Arrown teoreeman tulkintaa Kaikki äänestyssäännöt ovat jollakin tavalla epäkelpoja Strateginen äänestäminen ja äänestysjärjestys voivat vaikuttaa tuloksiin. Jos henkilöiden välisiä hyötyvertailuja ei voida tehdä, ei ole olemassa ‘sosiaalista optimia’ tai koherenttia ‘yhteiskunnan tahtoa’.

13 IIAn aspektit järjestysaspekti: IIA sallii vain että preferenssien järjestysinformaatio otetaan huomioon, intensiteettejä ei saa huomioida. Irrelevanssiaspekti: IIA sulkee pois myös informaation joka koskee kolmansia vaihtoehtoja.

Strategisen äänestämisen seuraukset Jos äänestystulosten manipulointi onkin hyödyllistä siksi, että se mahdollistaa intensiteettien ottamisen huomioon, IIA:ta ei voida enää puolustella käytännöllisillä argumenteilla.  A farewell to Arrow’s theorem

Silti Arrow’n teoreeman relevanssi metodologiselle individualismille: Koska yhteiskunnalla ei ole intentionaalisuutta muussa kuin vertauskuvallisessa mielessä, erilaisten intressien ja pohdintojen painottaminen ei tapahdu pohtimalla niiden tärkeyttä, vaan mekaanisella äänestyksellä. Sosiaalisilla yksiköillä ei ole välttämättä ole hyvin määriteltyjä päämääriä  on katsottava minkälaiseen päätöksentekoon näiden yksiköiden ’tahto’ perustuu.