4. Optimointia T055403
4.1 Epälineaarinen yhtälö Kertausta. Kurssissa Matematiikka 2 ratkaistiin epälineearisia yhtälöitä Newtonin menetelmällä: Iteraation aloittamiseksi tarvittiin alkuarvaus, ja sen jälkeen saatiin aina tarkempia ja tarkempia likiarvoja yhtälön ratkaisuille: T055403
Ratkaise käyttäen aloituspistettä 0. Esimerkki. Ratkaise yhtälö Ratkaise käyttäen aloituspistettä 0. T055403
Newtonin menetelmää voidaan käyttää myös varsin hyvin yhden muuttujan funktion minimin määrittämiseen: T055403
Etsi funktion minimi välillä [-2, 2] Esimerkki. Etsi funktion minimi Etsi funktion minimi välillä [-2, 2] T055403
4.2 Usean muuttujan funktion minimointi Tähän mennessä on huomattu, että usean muuttujan funktion kriittiset pisteet löytyvät yhtälön ratkaisuina. Tämä yhtälö on usein epälineaarinen, ja sen ratkaisu käytännössä johtaa iteratiivisen ratkaisumenetelmän käyttöön. T055403
Tämä voidaan helposti ohjelmoida, ja se tunnetaan nimellä Newtonin menetelmä epälineaarisen yhtälöryhmän g(x) = 0 ratkaisemiseksi. T055403
Ratkaisussa tarvittava Jacobin matriisi:
Esimerkki. Ratkaise epälineaarinen yhtälöryhmä Newtonin menetelmällä käyttäen aloituspistettä (1 1)T: T055403
Esimerkki. Ratkaise funktion kriittiset pisteet käyttäen aloituspistettä (2 -5)T ja (-5, 1)T ja laske 3 iteraatiota. T055403
Reaaliarvoiselle funktiolle määritellään Hessen matriisi toisen kertaluvun osittaisderivaattojen avulla T055403
Mikäli aiemmin ollessa iteratiivisessa menetelmässä epälineaarisen yhälöryhmän ratkaisualgoritmissa valitaan g(x) = grad(f(x)) saadaan Newtonin menetelmä funktion f(x) minimin määrittämiselle: T055403
minimi käyttäen aloituspistettä (1 -2)T. Määritä minimi funktiolle Esimerkki. Määritä funktion minimi käyttäen aloituspistettä (1 -2)T. Määritä minimi funktiolle käyttäen aloituspistettä (1 0)T. T055403