1. Usean muuttujan funktiot T055403 Osa II. 1. Usean muuttujan funktiot T055403

1.1 Johdantoa Usein yksi muuttuja ei riitä kuvaa-maan systeemiä kovinkaan hyvin. Esimerkki. Suorakulmaisen suuntaissärmiön tila-vuus riippuu särmien pituuksista x, y ja z. T055403

Tilavuus V on siten kolmen reaali-muuttujan reaaliarvoinen funktio: jo-kaista positiivilukukolmikkoa (x, y, z) vastaa yksikäsitteinen reaaliluku V. V = xyz T055403

Esimerkki. Luokkahuoneen lämpötila T voi pai-kan (x, y, z) lisäksi riippua ajasta t. Lämpötila on siis neljän reaalimuut-tujan reaaliarvoinen funktio: T = T (x, y, z, t ) T055403

Esimerkki. Putkessa virtaavan nesteen virtaa-misnopeus on hieman erilainen put-ken eri kohdissa. Lisäksi virtausno-peus vaihtelee ajan funktiona. T055403

Tällaista funktiota nimitetään joskus myös vektorikentäksi. Virtausnopeus on siten neljän reaali-muuttujan vektoriarvoinen funktio. Tällaista funktiota nimitetään joskus myös vektorikentäksi. Esimerkiksi fysiikassa puhutaan usein gravitaatio- ja sähkövarauksen ympä-rilleen aiheuttamasta sähkökentästä. T055403

1.2 Määrittely Määritelmä. Jos jokaista muuttujien x1, x2, x3, …, xn yhdistelmää vastaa tietty muuttu-jan z arvo, sanotaan z :aa muuttu-jien x1, x2, x3, …, xn funktioksi, ja sitä merkitään T055403

Funktion määritysjoukko koostuu niistä lukupareista, kolmikoista ja n-tuplista, joille funktio on määritelty. T055403

1.3 Havainnollistaminen Yhden muuttujan reaaliarvoista funktiota voidaan havainnollistaa kuvaajalla. Esimerkki. Funktion kuvaaja: T055403

T055403

Kahden muuttujan funktion muuttu-jana on (esim.) xy-tason piste. Kahden muuttujan reaaliarvoista funktiota voidaan havainnollistaa mo-nella eri tavalla. Kahden muuttujan funktion muuttu-jana on (esim.) xy-tason piste. T055403

arvo pisteissä (0, 1) ja (-2, 6). Esimerkki. Laske funktion arvo pisteissä (0, 1) ja (-2, 6). Mikä on funktion g määrittelyjoukko? T055403

Kahden muuttujan funktion f (x, y ) kuvaaja on pinta Kahden muuttujan funktion f (x, y ) kuvaaja on pinta. Pinta muodostuu niistä xyz - avaruuden pisteistä (x, y, z), joille on voimassa T055403

Esimerkki. Funktion f (x, y) = x sinx + y 2 ku-vaaja on xyz - koordinaatiston pinta. T055403

T055403

Kahden muuttujan funktiosta voidaan piirtää myös tasa-arvokäyrä. Esimerkki. Piirretään funktion kuvaaja ja tasa-arvokäyriä. T055403

T055403

T055403

T055403

Kahden muuttujan funktion tasa-ar-vokäyrät saadaan piirtämällä käyrät f (x, y ) = c . Tasa-arvokäyrä on kuin karttakuva. Funktion kuvaaja on kuin maisema. T055403

Mikäli f on kolmen muuttujan reaali-arvoinen funktio, niin kysymyksessä on tällöin 4-ulotteisen avaruuden 3-ulotteinen pistejoukko. Sitä ei voi havainnollistaa muuten kuin tasa-arvopintojensa avulla, mi-käli funktio on riittävän säännöllinen. T055403

2. Usean muuttujan funktioiden differen-tiaalilaskenta

2.1 Raja-arvo ja jatkuvuus Jos funktio on jatkuva määrittelyjoukkonsa jokaisessa pisteessä, sanotaan, että funktio on jatkuva. Tarkempi määrittely ja raja-arvojen laskutekniikan käsittely sivuutetaan. T055403

Muutama havainnollistus Funktiolla ei ole raja-arvoa origossa, joten se ei voi olla jatkuva. Funktiolla on raja-arvo origossa ja se on jatkuva. T055403

T055403

T055403

2.2 Differentiaalilaskenta ”Muutosnopeus” Tutki seuraavasta kuvaajasta, kuinka kahden muuttujan funktion arvot muuttuvat kuljettaessa a) x - akselin suuntaisesti b) y -akselin suuntaisesti. T055403

Funktion f (x, y) osittaisderivaatta muuttujan x suhteen saadaan pitä-mällä y vakiona. Tällöin käytetään seuraavanlaisia merkintöjä T055403

Funktion f (x, y) osittaisderivaatta muuttujan y suhteen saadaan pitä-mällä x vakiona. Tällöin käytetään seuraavanlaisia merkintöjä T055403

Täsmällisesti määriteltynä

Täsmällisen määrittelyn ja esimerkin perusteella osittaisderivaatta muut-tujan x suhteen ilmoittaa funktion arvojen muutosnopeuden liikuttaessa x-akselin suuntaisesti. Vastaava päättely voidaan tehdä osit-taisderivaatalle muuttujan y suhteen. T055403

ensimmäiset osittaisderivaatat. Esimerkki. Määritä funktion f (x, y, z) = xy - yz + 3xz ensimmäiset osittaisderivaatat. T055403

Esimerkki. Muodosta seuraavan funktion kaikki ensimmäiset ja toiset osittaisderivaa-tat. T055403

Voidaan osoittaa, että edellisessä esi-merkissä havaittu ilmiö on yleisesti voimassa, mikäli kaikki toisen kerta-luvun derivaatat ovat jatkuvia. Siis: derivointijärjestys ei vaikuta lopputulokseen, kunhan funktio on riittävän säännöllinen. T055403

Huomautus: Kun derivoidaan ensin muuttujan x suhteen ja sitten muuttujan y suh-teen on merkintä tällöin T055403