MAT-10341 Insinöörimatematiikka A 4 Luennot periodilla 4 keväällä 2006 Esko Turunen Tämä PowerPoint esitys perustuu oppikirjan Edwards & Penney:   Calculus 6e, Matrix Version. (Prentice-Hall 2002) lukuihin 12 ja 13. * Luennoilla käsitellään asiat yksityiskohtaisemmin ja laajemmin kuin mitä tässä PowerPoint esityksessä on tehty; tämä esitys on vain luentorunko! * Esitysjärjestys ei ole täysin oppikirjan järjestystä noudattava, mutta kaikki keskeiset kirjassa esitellyt asiat käydään läpi. * Tämä esitys kannattaa ladata verkosta ennen luentoa ja ottaa printattu versio mukaan luennoille. Luennolla voi tehdä lisämerkintöjä. * Lisävalaistusta kurssin materiaaliin Antti Perttulan monisteesta. * Opiskelijan, joka tähtää kiitettävään arvosanaan kannattaa lukea myös varsinaista kurssikirjaa, jossa esitys on huomattavan yksityiskohtaisempi.

Edeltävillä kursseilla ja lukiossa on käsitelty yhden muuttujan reaaliarvoisia funktioita f eli kuvauksia f:R→R, vaikkapa f(x) = x2 + 2x tai f(x) = cos(x); käsitteet arvo, raja-arvo, jatkuvuus, derivaatta, integraali, ääriarvo, jne tulivat tutuiksi. Yhden muuttujan vektorifunktiot eli kuvaukset f: R→Rn, n > 1. Esimerkiksi f(t) = (sin(t), cos(t), t2) voi ajatella ilmaisevan ’partikkelin paikkaa (x(t), y(t), z(t)) ajanhetkellä t’ ( 3-dim avaruudessa) Tällä kurssilla funktion käsitettä laajennetaan: Usean muuttujan vektoriarvoiset funktiot eli kuvaukset f: Rn→Rm, n, m > 1. Esimerkiksi f(x,y,z) = (2x, 3y) voi ajatella kuvaavan, miten ’3-ulotteinen piste projisoituu tason pisteeksi’ Usean muuttujan reaaliarvoiset funktiot eli kuvaukset f: Rn→R, n > 1. Esimerkiksi f(x,y) = sin(x) + 3cos(y) voi ajatella ilmaisevan ’korkeutta meren pinnasta kartan pisteessä (x,y)’ Miten käsitteet arvo, raja-arvo, jatkuvuus, derivaatta, ääriarvo, jne näille määritellään?

(A) Implisiittisestä derivoinnista Ennen siirtymistä uusiin funktiotyyppeihin käsitellään muutamia yhden muuttujan reaali- arvoiseen funktioon liittyviä käsitteitä, joilla on käyttöä myöhemminkin: (A) Implisiittisestä derivoinnista Esimerkiksi yhtälö y = x2 + 2x ilmaisee eksplisiittisen funktion: sijoittamalla x:n paikalle arvoja saamme suoraan funktion y(x) arvot. Sen sijaan funktio (*) y·sin(x) + 2y·x = 5. on yhden muuttujan implisiittifunktio, jossa voidaan ajatella joko, että y = y(x) tai x = x(y). Tällainenkin funktio voidaan derivoida (ratkaisematta ensin y:n tai x:n ekspli- siittistä lauseketta) käyttämällä hyväksi tulon ja yhdistetyn funktion derivoimiskaavaa D(f(g(x)) = f’(g(x))g’(x). Seuraava esimerkki puhuu puolestaan. Esim. Olkoon kaavassa (*) y = y(x). Laskettava y’(x) (= dy/dx) ja erityisesti y’(/2). Ratkaisu. Derivoimalla puolittain yhtälössä (*) x:n suhteen saadaan Ratkaistaan tästä y’:n lauseke (jos voidaan!) Voidaksemme laskea arvon y’(/2) tarvitsemme arvon y(/2). Se saadaan kaavasta (*): ysin(/2) + 2y/2 = 5 eli y + y = 5  Entä, jos x = x(y). Mitä silloin on x’(y)? ks. http://math.tut.fi/courses/imavideo/

(B) Logaritmisesta derivoinnista Joskus funktion derivointia saattaa helpottaa seuraava havainto: jos y = f(x) (> 0), voidaan ottaa logaritmit puolittain, jolloin ln(y) = ln(f(x)). Derivoimalla nyt implisiittisesti puolit- tain x:n suhteen saadaan Tällaista derivointia sanotaan logaritmiseksi derivoinniksi. joten ( C) l’Hospitalin sääntö Yleistetty väliarvolause sanoo: jos f(x) ja g(x) ovat jatkuvia suljetulla välillä [a,b] ja deri- voituvia avoimella välillä (a,b), niin Esim. Jos y = 3sin(x) , jossa x[/4,/2], on ln(y) = ln(3sin(x) ) = sin(x)ln(3), joten derivoimalla puolittain x:n suhteen josta edelleen y’= 3sin(x)cos(x)ln(3) Tähän perustuu l’Hospitalin sääntö muotoa 0/0 tai ∞/∞ olevan raja-arvon laskemiseksi: Huom. Sääntö kattaa myös tapaukset x ja toispuoliset raja-arvot. Monet tapaukset 0·, , ·,  ja  voidaan palauttaa l’Hospitalin sääntöön. Esim. Ks. tarkemmin http://math.tut.fi/courses/imavideo/

Tämä voidaan tietysti esittää myös vektorimuodossa Edwards&Penney: Luku 12.1 Esim. Olette jo tutustuneet 3-ulotteisen suoran parametrimuotoiseen esitykseen, joka on vektorifunktio Tämä voidaan tietysti esittää myös vektorimuodossa f:RR3: f(t) = (x0 + ta , y0 + tb , z0 + tc) = i(x0 + ta) + j(y0 + tb) + k(z0 + tc) , tR Katsotaan kuvaa ... Esim. Johda sen (lineaarisen) spiraalin yhtälö, joka lähtee pisteestä (1,0,0) ja tehtyään 3 täyttä kierrosta päätyy pisteeseen (0,0,3). Ratkaistaan tehtävä jakamalla sen kolmeen osaan: (A) etsitään ensin xy-tason yksikköympyrän parametriesitys (B) spiraali on ’alati kutistuva ympyrä’ etsitään lineaarisen xy-tason spiraalin kutistuskerroin (C) venytetään tämä 2-dim spiraali lopuksi 3-dim tapaukseksi (A) Tunnetun määritelmän mukaan trigonometriset funktiot ’sin’ ja ’cos’ on asetettu siten, että x() = cos , y() = sin josta heti nähdään parametrimuotoinen esitys f() = (cos , sin) = icos + jsin (x,y) 

y (B) Kun spiraali tekee kolme kierrosta, muuttuu kulma  arvosta 0 arvoon 6 (tai 2  8), merk.  = 2t, jolloin t saa arvot 1:stä 4:n. Siten x-koordinaatti on x(t) = R(t)cos(2t) , y-koordinaatti on y(t) = R(t)sin(2t) missä lineaarinen kutistuskerroin R(t) = at+b. Ratkaistaan tuntemattomat a ja b, ks. x(t):n lauseke: x - - - (1,0) Siis R(t) =-t/3 +4/3 (2/3,0) (1/3,0) + a = -1/3  b = 4/3 Siten 2-ulotteisen spiraalin parametrimuotoinen esitys on x(t) = (-t/3 + 4/3)cos(2t) , y(t) = (-t/3 + 4/3)sin(2t), t[1,4] Sama vektorimuotoisesti: f(t) = (-t/3 + 4/3)cos(2t)i + (-t/3 + 4/3)sin(2t) j +(t - 1)k (C) 3-dim tapauksessa komponentti z saa lineaarisesti arvot 0 ... 3, joten z(1) = 0 ja z(4) = 3. Koska z(t) = At + B, on A + B = 0 eli A = -B ja 4A - A = 3 A = 1 , B = -1 vektorimuodossa... x(t) = (-t/3 + 4/3)cos(2t) , y(t) = (-t/3 + 4/3)sin(2t), z(t) = t - 1, t[1,4] Siten 3-uloitteisen spiraalin parametrimuotoinen esitys on

Vektorifunktion jatkuvuus ja derivaatta Vektorifunktioille, esim 2- ja 3-uloitteisissa tapauksissa f(t) = x(t)i + y(t)j tai f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k määritellään analyysin peruskäsitteet ’komponenteittain’, esimerkiksi raja-arvo: i j olettaen, että kaikille komponenteille kyseiset raja-arvot ovat olemassa. Suoraviivaisesti voidaan todistaa, että myös f(t):n derivaatta voidaan laskea komponenteittain, ts. Vastaavasti vektorifunktion f(t) derivaatta määritellään raja-arvona f’(t) = x’(t)i + y’(t)j ja f’(t) = x’(t)i + y’(t)j + z’(t)k, jne. Esim. f(t) = (sin2(t), cos2(t)), jolloin f’(t) = (2sin(t)cos(t), -2cos(t)sin(t)). Derivoimissääntöjä: (i) D(f(t) + g(t)) = f’(t) + g’(t), (ii) D(cf(t)) = cf’(t), (iii) D(h(t)f(t)) = h’(t)f(t) + h(t)f’(t), (iv) D(f(t)·g(t)) = f’(t)·g(t) + f(t)·g’(t), (v) D(f(t)g(t)) = f’(t)g(t) + f(t)g’(t), missä h(t) on yhden muuttuja funktio ja c vakio. Toisen ja korkeamman asteen derivaatat lasketaan suoraviivaisesti: f’’(t) = x’’(t)i + y’’(t)j + z’’(t)k, f’’’(t) = x’’’(t)i + y’’’(t)j + z’’’(t)k, jne.

+ Todistetaan malliksi kohta (v). Olkoot f(t) = (x(t), y(t), z(t)) ja g(t) = (a(t), b(t), c(t)). Muodostetaan ensin ristitulo fg: =(yc - bz)i – (xc - az)j + (xb - ay)k Derivoidaan sitten fg: D(fg) = (y’c + yc’- b’z - bz’)i – (x’c + xc’- a’z - az’)j + (x’b + xb’- a’y - ay’)k Lopputuloksen pitäisi olla sama kuin ristitulojen f’g ja fg’ summa. Onko näin? (y’c – bz’)i – (x’c – az’)j + (x’b – ay’)k + (yc’ – b’z)i – (xc’ – a’z)j + (xb’ – a’y)k Vertaamalla lausekkeita termi termiltä todetaan, että lopputulos on sama. MOT

Vektorifunktion integrointi Koska derivointi ja integrointi ovat yhden muuttujan reaaliarvoisen funktion tapauksessa ’toistensa käänteisoperaatioita’ ja vektorifunktion derivointi palautuu derivoimiseen komponenteintain, on selvää, että myös integrointi tapahtuu komponenteitain, ts. Esim. Jos f(t) = eti + t5j, niin Myös määrätty integraali lasketaan komponenteittain. Vektorifunktiolla on fysiikassa mm. seuraava sovellus: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ilmoittaa partikkelin paikan ajanhetkellä t, sen 1. derivaatta v(t) = r’(t) = x’(t)i + y’(t)j + z’(t)k kertoo partikkelin nopeuden hetkellä t, 2. derivaatta a(t) = r’’(t) = x’’(t)i + y’’(t)j + z’’(t)k ilmoittaa partikkelin kiihtyvyyden hetkellä t. Esim. Määrää rataa r(t) = t2i + tj + 3k liikkuvan kappaleen nopeusvektorin v(t), vauhdin | v(t)| ja kiihtyvyyden a(t) yleiset lausekeet. Määrää kyseiset lausekkeet erityisesti hetkellä t = 0. Piirrä lopuksi kuva kappaleen radasta.

Ratkaisu. Koska r(t) = t2i + tj + 3k , on v(t) = r’(t) = 2ti + j ja a(t) = v’(t) = r’’(t) = 2i Vauhti | v(t)| = Erityisesti ajanhetkellä t = 0 on partikkeli paikassa r(0) = 02i + 0j + 3k = (0,0,3), nopeus on v(0) = 20i + j (0,1,0), kiihtyvyys on a(0) = 2i (vakio) vauhti on | v(0)| = 1 [m/s]. Kuvaajaa varten huomataan ensin että liikutaan pinnalla z = 3 ja x(t) = t2 ,y(t) = t (t eliminoidaan)  kuvaaja on paraabeli x = y2. z z=3 y x Esim. Jos partikkelin paikka- ja nopeusvektorit ovat aina kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin millaisella pinnalla partikkeli liikkuu? Ratkaisu. Jos merkitsemme partikkelin paikkaa vektorilla r(t), niin nopeus = r’(t), ja kohtisuo- ruusehto merkitsee pistetulona r(t)r’(t) = 0, jolloin myös 2 r(t)r’(t) = 0 joka voimassa t. Auki kirjoitettuna tämä viimeinen on sama kuin 2(x(t) , y(t) , z(t)) (x’(t) , y’(t) , z’(t)) = 0  2x(t)x’(t) + 2y(t)y’(t) + 2z(t)z’(t) = 0. Jos tässä nyt integroidaan t:n suhteen, saadaan x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 = A2 ( > 0) Mutta tämähän on pallon yhtälö! Liikumme siis origo-keskisellä, A-säteisellä pallolla.

Edellinen esimerkki osoitti, että jos f(t)f’(t)  0, niin vektorifunktion f(t) pituus on t:stä riippumatta vakio eli | f(t) |  C. Myös käänteinen tulos pätee: Teoreema. Jos vektorifunktio f(t) on derivoituva ja |f(t)|  (vakio) C, niin f(t)f’(t) 0 Todistus. Oletuksen |f(t)|  C nojalla eli f(t)f(t)  C2 , siis D(f(t)•f(t)) = f’(t)•f(t) + f(t)•f’(t) = 2f’(t)•f(t)  D(C2) = 0 Niinpä f(t)f’(t) 0 M.O.T 2-dimensionaalinen vektorifunktio (eli 2-uloiteinen käyrä!) voidaan yleensä esittää karteesisessa muodossa; tämä merkitsee parametrin t eliminointia (ja informaation hukkaamista!) Myös käänteinen tulos pätee joskus: Esim. Mitä xy-tason käyrää edustaa vektorifunktio f(t) = (t4+t2+1)i + t2j? Ratkaisu. Kirjoitetaan  x = y2 +y +1 Esim. Käyrälle y = x2 +2x voidaan antaa parametrimuotoinen esitys valitsemalla x(t) = t, silloin y(t) =t2 +2t ja esitys on voimassa kaikilla reaalisilla parametrin t arvoilla. Voidaan myös valita x2 = t, jolloin x(t) = t, jolloin y(t) = t + 2t, voimassa, kun t  0. Huomataan yleisemminkin: 2-ulotteinen käyrä voidaan esittää usean eri vektorifunktion avulla.

Parametrimuotoisen tasokäyrän tangentti Parametrimuotoisella käyrällä C pisteessä (x0(t),y0(t)) * voi olla yksikäsitteinen tangentti eli sivuamissuora * ei lainkaan tangenttia (vaikka käyrä olisi jatkuvakin) * useita tangentteja Tämä johtaa seuraavaan määritelmään Määr. Parametrimuotoinen tasokäyrä f(t) = x(t)i + y(t)j on annetulla välillä I =(a,b) sileä, jos derivaatat x’ (=dx/dt) ja y’ (=dy/dt) ovat olemassa jatkuvina I:ssä ja tI: [x’(t)]2 + [y’(t)]2  0. Sileälle käyrälle määritellään tangentin kulmakerroin pisteessä (x(t0),y(t0)) raja-arvona Esim. Etsi käyrän C tangentti- suoran yhtälö pisteessä t =2, kun Erikoisesti C:llä on vertikaalinen tangentti pisteessä (x0,y0) jos x’(t0) = 0 ja y’(t0)  0. C:llä on pisteessä (x0,y0) horisontaalinen tangentti jos y’(t0) = 0 ja x’(t0)  0.

Ratkaisu. Ensinnäkin x’(t) = 6t2 - 30t +24 = 24 - 60 +24 = -12  0. Esim. Etsi taso- käyrän C x- ja Ratkaisu. Ensinnäkin x’(t) = 6t2 - 30t +24 = 24 - 60 +24 = -12  0. t=2 Toiseksi y’(t) = 2t +1 = 5  0 y-akselin suuntaiset tangentit, kun t=2 Ratkaisu. Koska derivaatan x’(t) = 2t Siis tangentin kulmakerroin m = 5/-12 Tangentti kulkee pisteen (223 -1522 +242 +7, 22 + 2 +1) = (11,7) kautta, joten sen yhtälö on y - y0 = m(x - x0) ainoa nollakohta on t = 0, voisi pisteessä (x(0), y(0)) olla vertikaalinen tangentti. Näin ei kuitenkaan ole, sillä myös deri- vaatta y’(t) on = 0 pisteessä t = 0. Samasta syystä ei ole horisontaalisia tangenttejakaan  y - 7 = -5/12(x - 11)  12y +5x = 139 Vektorimuotoisen käyrän kaaren pituus Kun R3:n vektorifunktio f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k on ’riittävän säännöllinen’, se määrittelee kolmiulotteisen kaaren. Ongelma: Mikä on syntyvän kaaren pituus s, kun vektorifunktio f(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k saa arvot t0:sta t1:n? Edwards&Penney, Luku 12.2 f(t) Tutustumme differentiaali- geometriseen ajattelutapaan! | | t0 t1

Tarkastellaan seuraavalla raja-arvomenettelyllä Miksi pelkkä intuitio tai aistinvaraisuus ei riitä matemaattisessa päättelyssä? Tarkastellaan seuraavalla raja-arvomenettelyllä 1-ympyrän kehän pituutta; x r = 1 Tiedetään, että säännöllisen n-kulmion kannalle x on voimassa lauseke x = 2rsin(/2) = 2sin(/n), joten säännöllisen monikulmion ’kehän’ lauseke on nx = 2nsin(/n), kun tässä n, niin ’kehän’ pituus lähestyy ympyrän kehän pituutta, toden totta, lim n[2nsin(/n)] = 2 Tarkistetaan vielä Maplella!  = 2/n Määrätään nyt samalla raja-arvomenettelyllä 1-neliön halkaisijan pituus: • vertikaalisuunta + horisontaalisuunta = 1+1=2 • vertikaali + horisontaali = ½+½+½+½ = 2 1 • vertikaali + horisontaali = 8•¼ = 2, jne. Huomataan, että kaikilla jaoilla on vertikaalisuunta + horisontaalisuunta 2n(1/n) = 2, (ja lähestymme rajatta neliön halkaisijaa.) siten myös raja-arvo, kun n, pitää olla = 2. siis 1 Toisaalta Pythagoraan mukaan halkaisijan pituus on...

Ratkaisu. Otetaan pituuden määritelmäksi pisteiden (x0, y0, z0) ja (x1, y1, z1) etäisyys l 1o Jaetaan käyrä n:n s:n pituiseen osaan s 2o Tehdään seuraava algebrallinen temppu: s • on tämä etäisyys 3o: Kun jakotiheys kasvaa eli ’n’ vastaa differentiaalisen pientä t:n muutosta dt differentiaalisen pieni s:n muutos ds eli • …kun t muuttuu t:n verran dt |f’(t) | 1 4o: Laskemalla yhteen eli integroimalla (!) nämä differentiaalisen pienet pätkät ds saadaan lopulta pituudelle s lauseke Suurennuslasi apuun!

Esim. Laske käyrän f(t) = ti + (t2/2)j + 1/3t3k kaaren pituus s, kun t saa arvot 01. Ratkaisu. Koska f’(t) = i + 2tj + t2k , on Huom. Periaatteessa mikä tahansa riit- tävän säännöllinen n-ulotteinen vektori- funktio määrittelee ’kaaren’, jonka pi-tuus voidaan laskea. Käydään läpi pari muuta tapaa laskea kyseinen käyrän kaaren pituus integroi-malla. Tapaus 1º, jossa y = f(x) [’lukion funktio’]. Termiä dx/dt saa käsitellä kuin mitä tahansa murtolauseketta! Siis käyrän y = f(x) kaarenpituus s, kun x saa arvot x0:sta x1:n on

Napakoordinaatit .... mitäs ne oli! Esim. Laskettava paraabelin y = x2 kaaren pituus s, kun x saa arvot 01. Ratkaisu Tämän olette jo opineet ratkaisemaan ... Napakoordinaatit .... mitäs ne oli! Tapaus 2º r = r() napakoordinaatistossa, jossa kulma  saa arvot     , on käyrän kaaren pituus Esim. Laske logaritmisen spiraalin r = e2 pituus, kun kulma  saa arvot 0:sta 2:hin. Ratkaisu. Koska r2 = (e2)2 = e4, r’ = 2e2 ja (r’)2 = 4e4 on Tutkitaan vielä Maple-kuvaa moisesta spiraalista  320596 p.y.