Symmetriat ja symmetriarikot kvanttikenttäteorioissa Laudaturseminaari 25.9.07 Matti Antola

0.1 Alkupölinät Esitelmän kulku: 1 Symmetrioista 3 2 Symmetrioiden ja symmetriarikkojen luokittelu 5 3 Higgsin mekanismi 8 4 Kiraalisymmetria 11 Yhteenveto 14 Enemmän kiinnostaa tässä symmetriarikko kuin symmetriat itsessään

1.1 Symmetrioita Kirjain T on peilisymmetrinen keskiakselin suhteen => peilauksen jälkeen T näyttää samalta Pallo on pallosymmetrinen => rotaation jälkeen pallo näyttää samalta Matemaattisesti? Lagrangianilla on isospin SU(2) symmetria => muunnoksen jälkeen Lagrangiani säilyttää muotonsa Helpompi käyttää sanoja ’invariantti’ ja ’muunnos’ Pallo on invariantti rotaatiomuunnoksessa, Lagrangiani on invariantti SU(2) muunnoksessa

1.2 Symmetriat kvanttikenttäteorioissa Mikä on kvanttikenttäteoria (kahdessa rivissä)? Fysikaalisesti: klassiset ratkaisut kentille + fluktuaatiot Matemaattisesti: aktio => korrelaattorit, määrittelee teorian täysin Symmetriat tärkeitä Kvanttimekaniikassa eksakteja symmetrioita Teorioiden luokitus lokaalien ryhmien mukaan SM=SU(3)xSU(2)xU(1) (väri x heikko x elektromagneettinen) Usein havaittu symmetria luonnossa => vaatimus teorialle Esim. isospin SU(2)

2.1 Symmetrioiden luokittelu Vaikutusavaruuden mukaan aika-avaruus koordinaatit => kenttäteoriassa ’ulkoinen’ symmetria, esim: Lorentz symmetria Kvanttitilat => ’sisäinen’ symmetria, esim: Isospin SU(2) * Symmetriaryhmän mukaan Jatkuva (Lie ryhmä), esim: isospin SU(2) ja Poincare * ei-jatkuva, esim: varauskonjugaatio ja pariteetti Aika-avaruusriippuvuus ei riipu paikasta x: globaali symmetria, esim. isospin SU(2) riippuu paikasta x: lokaali symmetria (gauge symmetry), esim: SU(2) weak

2.2 Symmetrioiden luokittelu Pitävyyden perusteella eksakti symmetria / rikkoutumaton symmetria likimääräinen symmetria: pieni määrä rikkoutumista (kvantifioitava) rikottu symmetria: symmetria ei ole havaittavissa Likimääräinen tai rikottu symmetria rikkoutunut Eksplisiittisesti, esim: termi Lagrangianissa Spontaanisti, esim: potentiaali symmetrinen, mutta kentän minimiarvon lähellä epäsymmetrinen Dynaamisesti, esim: fermionikondensaatti => massa fermionille

2.3 Symmetrioiden luokittelu Yhteensä ...monta... kombinaatiota! Tavoitteena: Mikä on Goldstonen teoreema? Johdattaa Higgsin mekanismiin ja kiraalisymmetriaan Ensimmäinen lokaali eksakti spontaanisti rikottu, toinen globaali likimääräinen (dynaamisesti) rikottu Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) / Dynamical Symmetry Breaking (DSB) / Explicit Symmetry Breaking (ESB) ... niin mitä eroa?

3.1 Spontaani symmetriarikko Esimerkkinä kompleksinen skalaarikenttä Usein järjestysparametri

3.2 Goldstonen teoreema Jokaista rikottua symmetriageneraattoria vastaa yksi massaton hiukkanen = Goldstonen bosoni Pätee globaalille eksaktille symmetrialle Jos symmetria likimääräinen => pienimassainen bosoni, pseudo-Goldstone Lokaalin symmetrian vastine: jokaista rikottua symmetriageneraattoria vastaava mittabosoni saa massan Ei pystytä osoittamaan yleisesti Tämä on Higgsin mekanismi

3.3 Higgsin mekanismi Higgsin mekanismi on tapa saada mittakentille ja fermioneille spontaanisti massa SM:n tapa rikkoa heikko vuorovaikutus (EWSB) Myös fermionit saavat massan, kun Lagrangianiin otetaan Yukawa-muotoinen termi Miksi? L:ltä vaaditaan jotain symmetrioita => usein massatermit pilaavat symmetrian Mittakentän massatermi ei invariantti heikko vuorovaikutus... renormalisoituvuus SM leptoneilla ei voi olla massatermiä Korkeilla energioilla symmetrinen faasi & hiukkaset massattomia, matalilla energioilla rikottu faasi & massat

4.1 Likimääräinen symmetria Likimääräinen symmetria ~ heikko eksplisiittinen symmetriarikko jokin symmetria on melkein voimassa: voidaan kirjoittaa L = L0 + L1 Usein osa L1 voi tulla jonkin toisen sektorin spontaanista symmetriarikosta Myös anomaliat Anomalia voi häivyttää symmetrian jäljet kokonaan, kuten QCD:n ’flavor axial U(1)’ Vain jos kiraalisymmetria mittakenttäteoriassa (lokaali symmetria)

4.2 Dynaaminen symmetriarikko Dynaaminen symmetriarikko (Dynamical Symmetry Breaking) on eräänlainen spontaani symmetriarikko Teknisiä laskuja Vain mittakenttäteorioissa Ei näy klassisella tasolla eli puutason graafeissa Ei näy potentiaalista… johtuu interaktioista! Täydellinen propagaattori: VOI olla ratkaisuja jotka ei toteuta alkuperäisiä symmetrioita

4.3 Kiraalisymmetria QCD:ssä kaksi kevyintä kvarkkia on hyvin kevyitä Jos kvarkkien massat poistetaan, huomataan että Lagrangiani erottuu vasenkätisten ja oikeakätisten hiukkasten osalta kokonaan Tähän liittyy globaali symmetria SU(2)xSU(2), joka on siis likimääräinen symmetria Pioneilla on oikeat kvanttiluvut vastatakseen rikkoutuneen kiraalisymmetrian Goldstoneja Pseudo-Goldstoneja, kun otetaan huomioon että kvarkit eivät ole kokonaan massattomia Eli: kvarkkien massatermit ovat hyvin pieniä, mutta silti antavat spontaanille symmetriarikolle suunnan Tässä keskusteltu kahdesta kevyimmästä kvarkista… voidaan osoittaa (ainakin Weinberg voi), että vastaava SU(3)xSU(3) on varmasti spontaanisti rikottu

Yhteenveto Goldstonen teoreema osoittaa, että jokaista globaalin symmetrian rikottua generaattoria vastaa massaton hiukkanen Lokaalin symmetrian tapauksessa rikottua generaattoria vastaava mittakenttä saa massan (Higgsin mekanismi) Voidaan argumentoida että QCD:ssä on dynaamisesti rikottu likimääräinen kiraalisymmetria, jolle suunnan antaa kvarkkien pienet massat SSB on mikä vain symmetriarikko, millä on jollain tavalla dynaaminen alkuperä: vaikka m2(T) DSB tarkoittaa nimenomaan interaktioista johtuvaa symmetriarikkoa ESB: jokin staattinen efekti rikkoo symmetrian