Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Kuvioiden symmetriat Kuvio on symmetrinen, jos siihen on mahdollista tehdä isometrinen muutos ilman että kuvio muuttuu. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Sisältö Diat 1-3: Esittely Diat 5-10 : Ruusukuviot Diat 11-22: Friisit Diat 23-30: Laatoitukset Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Johdanto Kaikki mallit perustuvat jonkin aiheen systemaattiseen toistoon Antiikin ajoista lähtien on paljon esimerkkejä koristetaiteesta, jossa tiettyä aihetta toistetaan jaksoittain. Tällainen rakennelma voidaan kuvata matemaattisesti, ja taideteoksen vaikutus on vielä voimakkaampi, jos siinä on mahdollista nähdä myös matemaattinen aspekti. On mahdollista tuottaa loputon määrä aiheita, mutta mahdollisuudet sijoittaa aihe kuvioon ja toistaa sitä ovat rajalliset, jos katsotaan, kuinka isometrioiden avulla kuvio saadaan sopimaan yhteen alkuperäisen kuvion kanssa. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Johdanto Tason kuviot voidaan jakaa kolmeen kategoriaan : Ruusukuviot, joita on kaksi perustyyppiä Friisit, joita on 7 tyyppiä Mosaiikkilaatoitukset, joita on 17 tyyppiä Ruusukuviot ja friisit ovat ”yksiulotteisia”, kun taas mosaiikkilaatoitukset ovat ”kaksiulotteisia” Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Ruusukuviot Ruusukuvio on perusaiheesta tehty kuvio, jota toistetaan kääntämällä sitä tietyn pisteen ympäri tietyssä kulmassa niin monta kertaa, että se on kääntynyt 3600 . Alla olevasta kuvasarjasta nähdään, kuinka ruusukuvio muodostuu perusaihetta kiertämällä. Tämän ruusukuvion pienin kiertokulma on 900 . Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Ruusukuviot Kaikissa ruusukuvioissa on yksi tai useampia rotaatiosymmetrioita (kiertosymmetrioita). Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Ruusukuviot Pienin kiertokulma, jossa alla oleva ruusukuvio on yhteensopiva itsensä kanssa, on 600 Tässä ruusukuviossa on kuusinkertainen rotaatiosymmetria. Tämän näkee helposti jakamalla ruusukuvion tasasivuisiksi kolmioiksi. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Ruusukuviot : Lumihiutaleet. Esimerkkejä ruusukuvioista, joissa on sekä rotaatio- että reflektiosymmetriaa (peilaussymmetriaa). Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Tehtäviä (ruusukuviot) Käytä dynaamista geometriaohjelmaa (esim. GeoMeters Sketchpad) Tutki edellisen dian lumihiutaleita ja seuraavan dian astiaa ja niiden symmetrioita. Piirrä/rakenna ruusukuvio, jossa on vain rotaatiosymmetrioita. Onko mahdollista käyttää mitä tahansa kulmaa kiertokulmana ruusukuvion rakentamisessa? Piirrä/rakenna ruusukuvio, jossa on sekä rotaatio- että peilaussymmetrioita. Voiko ruusukuviossa olla sekä 600 että 720 :n kiertoja? Perustele näkemyksesi kuvion avulla. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Ruusukuviot Tutki astian symmetrioita. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Friisi on nauhamainen kuvio, jossa perusaihetta toistetaan yhä uudelleen yhdessä ulottuvuudessa. On mahdollista tehdä rajaton määrä erilaisia frrisejä, mutta jos jaottelemme friisit niiden sisältämien symmetrioiden mukaan, tyyppejä on vain seitsemän. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Jos friisiin sovelletaan sopivaa translaatiota (siirtymää) omassa suunnassaan, niin että se on yhteen sopiva itsensä kanssa, kyseessä on translaatiosymmetria (siirtymäsymmetria). Lyhintä translaatiota kutsutaan perustranslaatioksi, ja vastaavan translaation pituutta kutsutaan aiheen d pituudeksi. Jos vain d on mahdollisimman lyhyt, perusaihe on valinnainen. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Jokaisessa friisissä on translaatiosymmetriaa, mutta friisissä voi olla myös muita symmetrioita. Alla olevassa friisissä on liukureflektiosymmetriaa. Perusaihe on vasen ja oikea jalka. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Voidaan osoittaa, että friisissä voi esiintyä viittä erilaista isometriaa. Tämän todistamiseksi tarvitaan hieman matematiikkaa. (Voit halutessasi jättää matematiikan väliin ja siirtyä diaan 18.) Meidän täytyy osoittaa, että jokainen isometria nauhakuviossa on jokin seuraavista 5 tyypistä: Translaatio Refltektio (peilaus) ylös/alas esim. reflektio suoralla, joka on yhdensuuntainen friisin niin sanotun keskiviivan kanssa. Reflektio oikealle/vasemmalle, esim. reflektio akselilla, joka on kohtisuorassa friisin suuntaan nähden. Rotaatio (180o) Liukureflektio (suunta on sama kuin friisin) evt. ??? Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Jos tiedämme, mihin kaksi pistettä A ja B friisin reunalla siirretään, silloin me myös tiedämme, miten koko friisi siirretään. Alla olevassa piirroksessa osoitetaan, että A siirretään kohtaan A’ ja B siirretään kohtaan B’ Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Yritämme ottaa selville, miten friisin loppuosa siirretään. Valitsemme summassa pisteen X ja etsimme pisteen X’, johon X siirretään. Piirrä ympyrä, jonka keskuksena on A’ ja säteenä |AX|. Piste X’ on jossakin tällä ympyrällä, koska pisteen X’ etäisyyden pisteeseen A’ täytyy olla sama kuin pisteen X etäisyyden pisteeseen A (koska etäisyydet säilyvät isometrioissa). Samalla tavalla piirrä ympyrä, jonka keskipiste on B’ ja säde |BX|. Pisteen X’ täytyy olla jossakin tällä ympyrällä. Tästä seuraa, että X siirretään kahden sinisen ympyrän leikkauspisteeseen X’. Mutta koska molemmat keskipisteet ovat reunalla, vain yksi friisin sisällä oleva leikkauspiste on mahdollinen. Näin olemme siis osoittaneet: jos vain tiedämme, mihin kaksi friisin reunalla olevaa pistettä siirretään, ne määräävät sen, miten friisin loppuosa siirretään. Måske burde der være et slide med en illustration !! Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Friisit Piste B´suhteessa pisteeseen A’ Pisteet A’ ja B’ suhteessa pisteisiin A ja B Piste B’ on pisteen A’ oikealla puolella Piste B’ on pisteen A’ vasemmalla puolella A’ ja B’ ovat samalla reunalla kuin A ja B Tyyppi 1: translaatio Tyyppi 3: Reflektio oikealle/vasemmalle A’ ja B’ ovat vastakkaisella reunalla kuin A ja B Tyypit 2 ja 5: Reflektio ylös/alas, jos A’ ja B’ ovat tarkalleen pisteiden A ja B yläpuolella, muutoin kyseesä on liukureflektio. Tyyppi 4: 1800 rotaatio Overskriften skal rettes Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Friisit – kaikissa on translaatiosymmetriaa friisin suunnassa Tyyppi1 : vain translaatio-symmetriaa Tyyppi 2: reflektiosymmetriaa ylös/alas Tyyppi 3: reflektiosym-metriaa oikealle/ vasemmalle Tyyppi 4: rotaatiosym-metriaa (1800) Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Friisit – kaikissa on translaatiosymmetriaa friisin suunnassa Tyyppi 5: liukureflek-tiosymmetriaa Tyyppi 6: kaikkia symmetrioita Tyyppi 7: kaikkia symmetrioita paitsi reflektiota ylös/alas Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Friisit: on olemassa tasan seitsemän friisien symmetriayhdistelmää On mahdollista tunnistaa friisin tyyppi sen sisältämien symmetrioiden perusteella. Yllä olemme nähneet esimerkkejä friiseistä, joissa on translaatiosymmetriaa, symmetriaa ylös/alas, symmetriaa oikealle/vasemmalle, rotaatiosymmetriaa ja liukureflektiosym-metriaa. Kaikissa esimerkeissä, paitsi tyypissä 2, on vain yksi ei-triviaalinen symmetria. Tyypissä 2 on automaattisesti liukureflektiosymmetriaa. Friisiä, jossa olisi vain symmetriaa ylös/alas tai oikealle/vasemmalle, ei myöskään ole olemassa. Osaatko selittää, miksi? Voidaan osoittaa, että on olemassa vain kahta muuta friisityyppiä: Tyyppi 6: Friisi, jossa on kaikkia viittä symmetriaa Tyyppi 7: Friisi, jossa on kaikkia muita paitsi ylös/alas –symmetriaa. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Friisisymmetrioiden yhdistelmiä Alla osoitetaan systemaattinen tutkimustapa, jolla etsitään friisistä kaikkia neljää mahdollista ei-triviaalista symmetriaa . Selitä, mitkä puun osoittamista reiteistä ovat kiellettyjä ja mitkä seitsemän ovat “sallittuja”. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

symmetriat oikealle/vasemmalle liukureflektiosymmetriat symmetriat ylös/alas symmetriat oikealle/vasemmalle liukureflektiosymmetriat rotaatiosymmetriat kyllä ei 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Tehtäviä (Friisit) Käytä dynaamista geometriaohjelmaa (esim. GeoMeters Sketchpad) Kuvaile, käyttäen kirjainta A, kaikkien seitsemän tyypin friisejä. Saat toistaa aihetta, mutta myös kääntää sitä; se on, joka toinen kerta. (Vihje: Tämä ongelma on hyvä ratkaista geometriaohjelmaa käyttäen.) 2) Rakenna seitsemän eri tyyppistä friisiä geometriaohjelman avulla. 3) Tunnista seuraavat friisityypit: a) b) XXXXXXXXXXXXXXXXXXX Identify the types of the friezes a and b below Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mosaiikkilaatoitukset Tapetin malli/mosaiikkilaatta tasossa on malli, joka muodostuu perusaiheesta, jota toistetaan ainakin kahdessa eri suunnassa ja joka peittää tason kokonaan ilman aukkoja tai päällekkäisyyttä . Se tarkoittaa, että mosaiikkilaatta voidaan muodostaa aiheesta, jota siirretään tasossa kahdessa eri suunnassa, kunnes se peittää tason kokonaan ilman aukkoja tai päällekkäisyyttä. Aihetta voidaan toistaa loputtomasti näissä kahdessa suunnassa. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Mosaiikkilaatta Aiheita on loputon määrä, mutta vain 17 symmetrioiden yhdistelmätyyppiä. Mosaiikkilaatan symmetria on isometria, joka sovittaa mosaiikin itsensä päälle täsmällisesti. Kyseessä olevat isometriatyypit ovat: Translaatiot, rotaatiot, reflektiot (=peilaukset) ja liukureflektiot sekä näiden yhdistelmät. Koska mosaiikkilaatassa on aina translaatioita eri suunnissa, niitä kutsutaan triviaalisymmetrioiksi. Tilings – overskrift and combinations of these !!!! Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Kuinka määritetään mosaiikin tyyppi Perusaihe määritellään alueena, jossa koko mosaiikki voidaan rakentaa translaatioina kahteen eri suuntaan. Perusalue on pienin alue, johon koko mosaiikki voidaan luoda, kun kaikkia mosaiikin symmetrioita on käytetty. Perusalueessa voi olla monia eri muotoja. Maurilaiset mallit rakentuvat usein säännöllisistä monikulmioista. Mutta kaikkia säännöllisiä monikulmioita ei voi käyttää muodostamaan mosaiikkia tasossa. Itse asiassa on mahdollista käyttää vain kolmiota, neliötä ja kuusikulmiota. Osaatko selittää, miksi? Jotta mosaiikki voisi sisältää rotaatioita (triviaalin 180o rotaation lisäksi), se täytyy rakentaa säännöllisistä monikulmioista. Osaatko selittää, miksi? Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren 17 symmetrioiden yhdistelmää voidaan järjestää alla olevan kaavion mukaan. Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Onko liukureflektiota akselilla, joka ei ole reflektioakseli? kyllä cm pm kyllä kyllä pg pmm ei p1 Onko reflektiota? kyllä ei Onko liukureflektiota? Ovatko kaikki rotaatiokeskukset reflektioakselilla? kyllä Onko reflektioita kahteen suuntaan? ei mikään 180 90 120 60 kyllä ei pmg ei Onko reflektiota? Onko liuku- reflektiota? kyllä pgg Mikä on pienin rotaatio? ei ei p2 cmm Onko reflektiota? kyllä Onko reflektioita 4 suuntaan? kyllä p4m ei Onko reflektiota? ei kyllä p4g ei Ovatko kaikki rotaatiokeskukset reflektioakselilla? p4 Onko reflektiota? kyllä p3m1 ei p31m kyllä p3 ei p6m p6

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Esimerkkejä: No. 1 on p4m , koska pienin rotaatio on 900 ja sillä on neljä reflektioakselia. No. 2 on pm , koska sillä on 2 pystysuoraa reflektioakselia, siinä ei ole rotaatioita eikä liukureflektioita akseleissa, jotka eivät ole reflektioakseleita. No. 1 No.2 Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren Tehtäviä (Mosaiikkilaatat) Käytä dynaamista geometriaohjelmaa (esim. GeoMeters Sketchpad) Rakenna mosaiikkilaatoituksia tyypeistä: p1, p2 ja p6. Analysoi 4 mosaiikkilaatoitusta nro. 3, nro. 4, nro.5 ja nro.6 – seuraavista dioista – etsien niistä symmetrioita ja sitten nimeä symmetriatyypit. 3) Tutki sitten, onko niissä mitään tiettyjä symmetrioita, joitakin käytetään enimmäkseen monissa Alhambram kuvioissa. Hint: Look at the following web - addresses http://www.spsu.edu/math/tile/grammar/moor.htm http://torus.math.uiuc.edu/jms/Photos/03/JulE/Alhambra/color.html Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren No. 3 No. 4 Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren

Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren No. 6 No. 5 Mette Vedelsby, CVUSJ / Efelcren