TODENNÄKÖISYYSLASKENTA Mika Rantanen 2011

Mika Rantanen 2011 Peruskäsitteitä Tapahtumaa, jonka tuloksen määrää sattuma, kutsutaan satunnaisilmiöksi. Tapahtuman mahdollisia tuloksia kutsutaan alkeistapauksiksi. Kaikkien mahdollisten alkeistapausten joukkoa kutsutaan otosavaruudeksi E Jos kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä, niitä kutsutan symmetrisiksi.

Klassinen todennäköisyys Mika Rantanen 2011 Klassinen todennäköisyys Jos joukko A on k:n suotuisan alkeistapauksen joukko otosavaruudessa E, jossa on n(A) kpl symmetrisiä alkeistapauksia, niin tapahtuman A klassinen todennäköisyys on E A

Todennäköisyyden ilmoittaminen Mika Rantanen 2011 Todennäköisyyden ilmoittaminen Todennäköisyys ilmoitetaan desimaalilukuna 0-1 tai prosenttilukuna 0%-100% Varman tapauksen todennäköisyys on 1 (100%) Mahdottoman tapauksen todennäköisyys on 0 (0%)

esimerkki 3-lapsisen perheen tyttöjen lukumäärä: Mika Rantanen 2011 esimerkki 3-lapsisen perheen tyttöjen lukumäärä: E = {ppp, ppt, ptp, tpp, ptt, tpt, ttp, ttt}

Komplementtitapaus Tapauksen komplementtitapaus ”ei ” on Mika Rantanen 2011 Komplementtitapaus Tapauksen komplementtitapaus ”ei ” on

esimerkki Millä todennäköisyydellä Mika Rantanen 2011 esimerkki Millä todennäköisyydellä Korttipakasta otettu kortti ei ole pata? Nopanheitossa neljällä heitolla saadaan ainakin yksi kuutonen? 5-lapsisessa perheessä on ainakin yksi tyttö?

Kertolaskusääntö riippumattomille tapahtumille Mika Rantanen 2011 Kertolaskusääntö riippumattomille tapahtumille Tapahtumat A ja B ovat riippumattomat, jos tapahtuman B todennäköisyys ei riipu siitä onko A sattunut vai ei. Riippumattomien tapahtumien A ja B todennäköisyys voidaan laskea kertomalla tapausten todennäköisyydet.

Mika Rantanen 2011 esimerkkejä Millä todennäköisyydellä saadaan korttipakasta peräkkäin otetuista korteista Kaksi ässää, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin Kaksi ässää, kun korttia ei laiteta noston jälkeen takaisin

esimerkkejä Millä todennäköisyydellä saadaan Mika Rantanen 2011 esimerkkejä Millä todennäköisyydellä saadaan korttipakasta ensimmäiseksi kortiksi pata ja toiseksi ässä, kun kortti laitetaan noston jälkeen takaisin? Nopanheitossa neljä ykköstä peräkkäin?

Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö Jos tapahtumat A ja B ovat erillisiä, ne ovat toisensa poissulkevia eli niillä ei ole samoja alkeistapauksia Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu, kun tapaukset A ja B ovat erillisiä: E B A

esimerkki Millä todennäköisyydellä a. Nopanheitossa saadaan 1 tai 2? Mika Rantanen 2011 esimerkki Millä todennäköisyydellä a. Nopanheitossa saadaan 1 tai 2? P(1 tai 2)= P(1) + P(2) =1/6+1/6 =0,17+0,17 =0,33 b. Korttipakasta vedetty kortti on kuvakortti tai nelonen

Yhteenlaskusääntö Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu: E B A Mika Rantanen 2011 Yhteenlaskusääntö Todennäköisyys, että A tai B tapahtuu: E B A

Millä todennäköisyydellä satunnaisesti nostettu kortti on Mika Rantanen 2011 esimerkki Millä todennäköisyydellä satunnaisesti nostettu kortti on Ässä tai hertta Parillinen tai musta

Mika Rantanen 2011 KOMBINATORIIKKA Monellako tapaa n alkion joukosta voidaan valita k alkiota (k  n): Kertaotoksena, jolloin sama alkio voidaan valita vain kerran Toisto-otoksena, jolloin sama alkio voidaan valita useamman kerran Otos voi olla järjestetty (jono), jolloin alkioiden järjestyksellä on väliä Otos voi olla järjestämätön (joukko), jolloin alkioiden järjestyksellä ei ole väliä

Mika Rantanen 2011 Kertoma ! Monellako tavalla n alkion joukko voidaan järjestää (permutoida)? Esim. Kuusi oppilasta voidaan järjestää jonoon 6! tavalla: Huomaa! 1!=1 0!=1

Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta Kertaotoksena Esim. Kuinka monta erilaista kolmen henkilön jonoa voi muodostaa viidestä oppilaasta?

Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista jonoa voidaan muodostaa n alkion joukosta Toisto-otoksena Esim. Kuinka monta erilaista veikkausriviä ( 1, X tai 2 ) voidaan tehdä, kun veikattavia otteluja on 13?

Mika Rantanen 2011 tehtävä Kuinka monta erilaista kolmen kirjaimen ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? toisto-otoksena? kertaotoksena

Mika Rantanen 2011 tehtäviä Kuinka monta erilaista 2- tai 3- kirjaimista ”sanaa” voi muodostaa kirjaimista A, L, K, U? toisto-otoksena? Kertaotoksena?

Montako k-alkioista joukkoa voidaan muodostaa n-alkioisesta joukosta? Mika Rantanen 2011 Montako k-alkioista joukkoa voidaan muodostaa n-alkioisesta joukosta? Esim.

Mika Rantanen 2011 tehtäviä

tehtäviä Kuinka monella tavalla Mika Rantanen 2011 tehtäviä Kuinka monella tavalla voidaan valita 7 alkiota 10 alkion joukosta? voidaan valita järjestäjäpari 20 oppilaan luokasta? neljä pelaaja tenniksen nelinpeliin 12 pelaajan joukosta? voidaan valita luokalle 20 oppilasta 85 oppilaan joukosta