Kertausta FUNKTIOISTA MAB5-kurssin jälkeen (Beta 2.0) x y y=f(x) AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua Oletetaan, että alla olevissa funktioiden kuvaajissa näkyvät kaikki kuvaajan oleelliset osat. Päättele kuvaajan perusteella, minkä asteen funktion kuvaaja kukin kuvaajista voi olla. Klikkaa TOISEN ASTEEN funktion kuvaajaa. AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua OIKEIN! Klikkaa KOLMANNEN asteen funktion kuvaajaa. Toisen asteen funktion kuvaaja AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua Klikkaa kuvaajaa, joka voi esittää funktiota Jäljelle jääneiden funktioiden asteluku on 4. OIKEIN! Toisen asteen funktion kuvaaja Kolmannen asteen funktion kuvaaja AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kuvaajan tarkastelua OIKEIN! Parittoman funktion kuvaaja ’muistuttaa’ suoraa. Parillisen funktion kuvaaja ’muistuttaa’ paraabelia. Toisen asteen funktion kuvaaja Neljännen asteen funktion kuvaaja Kolmannen asteen funktion kuvaaja AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

y = f(x) x = 3 Sulkeissa on aina x:n arvo y = 5 Muistaos tämä: Funktion arvot ovat y:n arvoja Sulkeissa on aina x:n arvo Klikkaile hiiren vasemmalla, niin pääset eteenpäin … Esim. f (3) = 5 y = 5 x = 3

y = f(x) x = 3 Sulkeissa on aina x:n arvo y = 5 Muistaos tämä: Funktion arvot ovat y:n arvoja Sulkeissa on aina x:n arvo Esim. f (3) = 5 y = 5 x = 3 AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion nollakohdat Vie kohdistin yhden funktion nollakohdan päälle ja klikkaa.

Funktion nollakohdat ovat - kohdat, joissa f(x) = 0 eli y = 0 - kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat

Funktion nollakohdat ovat - kohdat, joissa f(x) = 0 eli y = 0 - kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion merkki POSITIIVISIA NEGATIIVISIA x-akselin yläpuolella funktion arvot (y:n arvot) ovat NEGATIIVISIA x-akselin alapuolella funktion arvot (y:n arvot) ovat

Funktion merkki x-akselin yläpuolella funktion arvot (y:n arvot) ovat POSITIIVISIA x-akselin alapuolella funktion arvot (y:n arvot) ovat NEGATIIVISIA Funktion nollakohdat AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion derivaatasta Funktion derivaatta kuvaa funktion muutosnopeutta (käyrän jyrkkyyttä). Kun halutaan selvittää funktion muutosnopeus (kasvunopeus tai vähenemisnopeus) tietyssä pisteessä, niin määritetään funktion derivaatan arvo tässä pisteessä. Funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x0 merkitään:

Derivaatta graafisesti GRAAFINEN DERIVOINTI Määritetään graafisesti eli kuvaajasta. piirretään käyrälle tangentti kohtaan x0 määritetään tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti GRAAFINEN DERIVOINTI Määritetään graafisesti eli kuvaajasta. piirretään käyrälle tangentti kohtaan x0 määritetään tangentin kulmakerroin AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 Klikkaa hiiren vasemman-puoleisella näppäimellä kohdassa, johon tangentti on piirrettävä.

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 x = -2 Piirretään tangentti kohtaan x = -2

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 x = -2 RATKAISU 1. Piirretään käyrälle tangentti kohtaan x = -2 2. Määritetään tangentin kulma- kerroin kohdassa x = -2

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Klikkaa hiiren vasemmalla yhden tähän tarkoitukseen hyvin soveltuvan pisteen päällä. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Oikein! .. ja muitakin pisteitä löytyy … kokeile vaikka Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 3. Kulmakertoimen määrittämiseksi valitaan tangentilta KAKSI PISTETTÄ, joiden koordinaatit ovat selkeästi luettavissa. Esimerkiksi pisteet (-3,0) ja (-1,4) käyvät. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 4. Täydennetään kuviota muodostamalla kolmio. Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 5. Luetaan kuviosta Mikä seuraavista on oikein? Klikkaa oikeaa vastausta hiiren vasemmalla: Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU 5. Luetaan kuviosta Mikä seuraavista on oikein? Klikkaa oikeaa vastausta hiiren vasemmalla: Oikein! Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti TEHTÄVÄ Määritä graafisesti funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2 RATKAISU Tangentin kulmakerroin

Derivaatta graafisesti Tangentin kulmakerroin on yhtä suuri kuin funktion y = f(x) derivaatta kohdassa x = -2

Derivaatta graafisesti x = -2 TÄSTÄ klikkaamalla kaksi tehtävää. AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Tehtävä 1 Määritä f ’(0). Klikkaa oikeaa vaihtoehtoa: y = f(x)

Oikein! f ’(0) = 1 y = f(x) Ratkaisu tehtävään 1 Piirretään käyrälle tangentti kohtaan x = 0 Oikein! f ’(0) = 1 Tangentin kulmakerroin y = f(x)

Tehtävä 2 Määritä f ’(2). Klikkaa oikeaa vaihtoehtoa: y = f(x)

Oikein! f ’(2) = -3 y = f(x) Ratkaisu tehtävään 2 Tangentin kulmakerroin y = f(x)

Funktion kulku Klikkaa käyrällä kohtaa, jossa funktio on vähenevä. y x 2 7 x y y = f(x) Funktion kulkua (kasvamista ja vähenemistä) voidaan tutkia derivaatan avulla. Klikkaa käyrällä kohtaa, jossa funktio on vähenevä. AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion kulku y x y = f(x) Klikkaa käyrällä kohdassa, 2 7 x y y = f(x) VÄHENEVÄ KASVAVA Klikkaa käyrällä kohdassa, jossa funktion derivaatta on nolla.

Funktion kulku y x y = f(x) 2 7 x y y = f(x) VÄHENEVÄ KASVAVA Funktion derivaatta on nolla kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on x-akselin suuntainen piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla

Funktion kulku Klikkaa käyrällä kohtaa, 2 7 x y y = f(x) Klikkaa käyrällä kohtaa, jossa funktion derivaatta on NEGATIIVINEN.

Funktion kulku y x y = f(x) Funktion derivaatta on 2 7 x y y = f(x) Funktion derivaatta on NEGATIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on laskeva

Funktion kulku y x y = f(x) Funktion derivaatta on 2 7 x y y = f(x) Funktion derivaatta on NEGATIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on laskeva POSITIIVINEN kohdissa, joissa käyrälle piirretty tangentti on nouseva Huom! Piirrosteknisistä syistä käyrä on väritetty vain summittaisesti 

Funktion kulku y x y = f(x) 2 7 Klikkaile hiiren vasemmalla, niin pääset eteenpäin …

Funktion kulku y x y = f(x) Funktio on: 2 7 2 7 FUNKTION KULKUKAAVIO: VÄHENEVÄ KASVAVA Funktio on: 2 7 FUNKTION KULKUKAAVIO: Funktion kulku f (x) Derivaatan merkki f ’ (x) paikallinen maksimikohta minimikohta

Funktion kulku y x y = f(x) Funktio on: 2 7 2 7 FUNKTION KULKUKAAVIO: VÄHENEVÄ KASVAVA Funktio on: 2 7 FUNKTION KULKUKAAVIO: Funktion kulku f (x) Derivaatan merkki f ’ (x) paikallinen maksimikohta minimikohta AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion (paikalliset) ääriarvot x y y = f(x) (Paikalliset) ääriarvopisteet: Maksimipiste Minimipiste Klikkaa maksimi- pisteessä. AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion (paikalliset) ääriarvot x y y = f(x) (Paikalliset) ÄÄRIARVOPISTEET: Maksimipiste Minimipiste

Funktion (paikalliset) ääriarvot y y = f(x) Maksimi- piste Minimi- Ä R I A V O T paikallinen maksimiarvo minimiarvo paikallinen maksimikohta minimikohta x ÄÄRIARVOKOHDAT

Funktion (paikalliset) ääriarvot y y = f(x) Ääriarvopisteessä x:n arvot ovat ÄÄRIARVOKOHDAT - maksimikohta minimikohta y:n arvot ovat ÄÄRIARVOT maksimi(arvo) minimi(arvo) paikallinen maksimiarvo paikallinen minimiarvo x paikallinen maksimikohta paikallinen minimikohta Ääriarvokohdissa käyrälle piirretty tangentti on x-akselin suuntainen käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla funktion derivaatta on nolla

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktiolla voi olla 0, 1, 2, … (paikallista) maksimia ja/tai minimiä. Derivaatan nollakohdat ovat mahdollisia ääriarvokohtia. ei ääriarvoja yksi minimi yksi maksimi yksi minimi yksi maksimi kaksi minimiä yksi minimi f ’(x) = 0, mutta piste ei ole ääriarvo- piste f ’(x) = 0, mutta piste ei ole ääriarvo- piste ei ääriarvoja yksi maksimi yksi minimi yksi maksimi kaksi maksimia yksi minimi yksi maksimi

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktion y = f(x) ääriarvot laskemalla: x y = f(x) paikallinen maksimikohta minimikohta maksimiarvo minimiarvo y määritä funktion derivaatta määritä derivaatan nollakohdat (ovat mahdollisia ääriarvokohtia) laadi funktion kulkukaavio ja merkitse siihen derivaatan nollakohdat ja derivaatan merkit funktion kulkua osoittavat nuolet ääriarvokohdat laske funktion arvot ääriarvokohdissa

Funktion (paikalliset) ääriarvot Funktion y = f(x) ääriarvot laskemalla: x y = f(x) paikallinen maksimikohta minimikohta maksimiarvo minimiarvo y määritä funktion derivaatta määritä derivaatan nollakohdat (ovat mahdollisia ääriarvokohtia) laadi funktion kulkukaavio ja merkitse siihen derivaatan nollakohdat ja derivaatan merkit funktion kulkua osoittavat nuolet ääriarvokohdat laske funktion arvot ääriarvokohdissa AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion suurin ja pienin arvo, kun A. Pariton polynomifunktio, kun Funktiolla EI ole suurinta eikä pienintä arvoa. B. Parillinen polynomifunktio, kun Funktiolla on JOKO suurin arvo TAI pienin arvo.

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo A. Pariton polynomifunktio, kun Funktiolla EI ole suurinta eikä pienintä arvoa. B. Parillinen polynomifunktio, kun Funktiolla on JOKO suurin arvo TAI pienin arvo. AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO

Funktion suurin ja pienin arvo, kun Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Suurin arvo Pienin arvo

Funktion suurin ja pienin arvo Funktion suurin ja pienin arvo, kun Funktion suurin ja pienin arvo Polynomifunktiolla on SULJETULLA VÄLILLÄ aina sekä suurin, että pienin arvo. Kun , niin tarkastellaan vain pientä osaa funktiosta. Funktion suurin ja pienin arvo löytyvät JOKO: derivaatan nollakohdista TAI: välin päätepisteistä

Pikkukysely 1. Klikkaa x:n arvoa merkinnässä Ääni kertoo menikö oikein … 1. Klikkaa x:n arvoa merkinnässä 2. Onko viereinen kuvaaja parillisen vai parittoman funktion kuvaaja? 3. Ohessa on funktion y = f(x) kuvaaja. a) Funktion nollakohtia ovat: b) Derivaatan nollakohtia ovat: c) Funktion minimikohtia ovat: d) Funktion maksimiarvoja ovat:

Vastaukset pikkukyselyyn 1. Merkinnässä x = -5 ja y = 10 2. Parittoman funktion kuvaaja ’muistuttaa’ suoraa ja parillisen paraabelia. 3. Ohessa on funktion y = f(x) kuvaaja. a) Funktion nollakohtia (kuvaajan ja x-akselin leikkauskohdat) ovat: b) Derivaatan nollakohtia (kohdat, joissa käyrälle piirretty tangentti on x-akselin suuntainen) ovat: c) Funktion minimikohtia (ääriarvokohdat ovat x:n arvoja) ovat: d) Funktion maksimiarvoja (ääriarvot ovat funktion arvoja) ovat: AL- KU FUNKTION NOLLAKOHDAT FUNKTION MERKKI DERIVAATTA GRAAFISESTI FUNKTION KULKU FUNKTION ÄÄRIARVOT FUNKTION SUURIN JA PIENIN ARVO