Kritiikin alkulähteillä Marko Sysi-Aho msysiaho@cc.hut.fi

Sisältö VaR-laskuja varten tehtävät oletukset Ovatko oletukset oikeutettuja Stationaarisuus Riippumattomuus Normaalisuus Vaihtoehtoja

VaR: oletuksia VaR-analyysin perustan muodostavat satunnaismuuttujien tiheysfunktiot Rahoitusriskejä tarkasteltaessa on yleinen tapa olettaa tuotot satunnaismuuttujiksi Tuotot voidaan määritellä monella tavalla: Logaritmiset differenssit Suhteelliset differenssit Suorat differenssit

VaR-oletuksia Kun estimoidaan jakaumia VaR-analyysiä varten, tehdään yleensä seuraavat oletukset: tuotot ovat jonkin stationaarisen stokastisen prosessin realisaatioita tuotot ovat riippumattomia, ja tuotot ovat samoin jakautuneita jakauma oletetaan lähes aina normaaliseksi

Ovatko oletukset oikeutettuja Edellä mainitut oletukset ovat iskostuneet vahvasti rahoitusteoriaan, ja juontavat juurensa jo 1900-luvulta Oletuksilla päädytään kauniiseen ja yksinkertaiseen Brownin liikkeeseen, mutta Oletukset eivät usein vastaa todellisuutta: esim. osakkeiden, forwardien, optioiden, korkojen, … tuotot rikkovat fundamentaaleja oletuksia

Stationaarisuus Otetaan tarkasteluun HEX-yleisindeksi Jos tuotot ovat stationaarisia, tulee momenttien estimaattien olla samat jokaisella yhtä pitkällä aikajaksolla Onko esim. varianssi vakio ajassa?

Stationaarisuus

Stationaarisuus Edellisessä kuvassa HEX-yleisindeksin päivittäiset arvot on jaettu 17 ryhmään ryhmillä on selvästi toisistaan poikkeavat keskihajonnat, eli prosessi ei ole stationaarinen

Riippumattomuus Jos satunnaismuuttujat X, Y ovat riippumattomia, ovat myös niiden neliöt riippumattomia riippumattomien sm:en korrelaatio on nolla Onko tuottosarjan autokorrelaatiofunktio, Kroneckerin delta? Entä tuottojen itseisarvojen?

Riippumattomuus Edellisen kalvon ylempi kuva esittää, tuottojen autokorrelaatiofunktiota, ja alempi näiden neliöiden akf:ta Havaitaan, että neliöiden akf vaimenee hitaasti => tuotot eivät ole riippumattomia Myös itse tuottojen akf poikkeaa viiveellä 1merkittävästi nollasta Siis riippumattomuusoletus ei päde

Tuottojen normaalisuus? Kirjallisuudessa esiintyvissä VaR-laskuissa oletetaan tuotot usein normaalijakautuneiksi Todellisuudessa useilla tuottojakaumilla on selvästi korkeampi huippu ja paksummat hännät, kuin normaalijakaumalla Esim. seuraavan kalvon kuva esittää HEX-yleisindeksin tuottoihin sovitettua normaalijakaumaa ja ydin-estimaattia

Tuottojen normaalisuus? Kuvan perusteella havaitaan, että tuottojakauma ei ole normaalinen Tämä voidaan todeta vielä chin neliön yhteensopivuustestillä:

Tuottojen normaalisuus? Kun jaetaan HEX-tuottosarja luokkiin se. kuhunkin luokkaan tulee vähintään 30 havaintoa, saadaan 55 luokkaa ja Kriittinen arvo on 69.83, joten oletus normaalisuudesta on hylättävä Tuotot eivät siis ole normaalijakautuneita

Mitä on tehtävissä? Tähän mennessä on havaittu, että VaR-analyysin pohjana olevat oletukset eivät päde: tuotot eivät ole stationaarisia, riippumattomia, eikä normaalijakautuneita Käytännön laskuja varten voidaan usein olettaa riippumattomuus ja stationaarisuus, jos jakauman muoto on lähellä todellista, sillä tällöin arvioidut riskit ovat oikeansuuntaisia=> etsitään hyvä jakauma

Mitkä jakaumat ovat sopivia? Tutkimuksissa on havaittu, että Studentin jakauma, stabiilit jakaumat, yhdistetty normaalijakauma ja ns. mixed diffusion jump-mallin jakauma ovat tilanteeseen hyvin soveltuvia Seuraavalla sivulla olevassa kuvassa on HEX-yleisindeksin tuottosarjaan sovitettu Studentin jakauma ja ydin-estimaatti

Mitkä jakaumat ovat hyviä? Kuvasta voidaan havaita, että Studentin jakauma on selvästi normaalia sopivampi yhteensopivuustestin perusteella oletus Student-jakautuneisuudesta hyväksytään Stabiilit jakaumat, mm. symmetrinen Lévy-jakauma on myös todettu hyväksi Stabiilit jakaumat ovat normaalijakauman ’yleistyksiä’

Lopuksi Ei ole yhdentekevää mitä oletuksia VaR-laskentaa varten tehdään Käytännössä oletukset harvoin pätevät, mutta vakaissa olosuhteissa päästään huonoillakin oletuksilla siedettävään tulokseen, kun osataan estimoida sopiva jakauma, jota riskin laskennassa myös käytetään

Kotitehtävä Pohdi lyhyesti seurauksia, kun lasketaan VaR (esim.99%) normaalijakaumalla, jos todellinen jakauma on leptokurtinen so. jakaumalla on korkeammat huiput ja paksummat hännät kuin normaalijakaumalla.