Syventävä matematiikka 2. kurssi Vektorit Syventävä matematiikka 2. kurssi

Johdantoa Tavallisesti mittauksessa saadaan suureesta selville sen Esim. astian tilavuus on 3 litraa tai jonkin kappaleen massa on 4,5 kilogrammaa Fysiikassa ja tekniikassa suureiden yksi tärkeä ominaisuus on Esim. Suureita, joilla on suuruuden lisäksi vaikutussuunta, kutsutaan Suure, jolta puuttuu vaikutussuunta, on

Suuntajana Jos kahta pistettä A ja B yhdistävälle janalle AB annetaan suunta niin, että Esim. Suuntajana AB  A B

Suuntajana - jatkoa Piste A on suuntajanan alkupiste ja piste B sen loppupiste eli Jos janaan liitetään suunta pisteestä B pisteeseen A, niin saadaan suuntajana Suuntajanan pituus on janan pituus, Kun A = B, on nollasuuntajana

Suuntajana - jatkoa Suuntajanat ovat yhdensuuntaiset || tai erisuuntaiset || sen mukaan, ovatko suuntajanojen määräämät suorat yhdensuuntaiset vai eivät Yhdensuuntaiset suuntajanat ovat joko samansuuntaiset ↑↑ tai vastakkaissuuntaiset ↑↓

Tehtävä Mitkä kuvan suuntajanoista ovat keskenään Yhdensuuntaiset? Samansuuntaiset? Vastakkaissuuntaiset? G H A B D C F E

Esimerkki Puolisuunnikkaassa ABCD sivut AB ja DC ovat yhdensuuntaiset, joten Silloin , D C A B

Vektori Kaksiulotteisessa tasossa tai kolmiulotteisessa avaruudessa Jokainen suuntajanoista on kyseisen Suuntajanan AB määräämää vektoria merkitään

Merkintä Vektoreita merkitään myös yhdellä symbolilla joko siten, että symbolin päälle kirjoitetaan Esimerkiksi: Me käytämme merkintää

Pituus Vektorin pituutta eli suuntajanan pituutta merkitään joko Vektorin pituus on siten Samassa kuviossa vektoreiden keskinäiset pituudet kertovat niiden keskinäisistä suuruuksista Vektori, jonka pituus on nolla, on nollavektori

Samat vektorit Jos vektorit ovat keskenään samat, pätee niille Eli vektorit ovat keskenään yhdensuuntaiset ja niiden pituus on sama

Yksikkövektori ja vastavektori Yksikkövektori on vektori, Merkitään: Keskenään vastakkaissuuntaiset ja yhtä pitkät vektorit ovat toistensa vastavektoreita Merkitään: vektorin vastavektori on

Yksikkö- ja vastavektori jatkoa… Yhteenveto:

Harjoitustehtäviä 1. Olkoot Lisäksi Piirrä vektorit

Harjoitustehtäviä 2. a) Piirrä vektorin vastavektori b) Piirrä vektorin kanssa samansuuntainen vektori, jonka pituus on c) Piirrä vektori, joka on vektorin kanssa vastakkaissuuntainen ja, jonka pituus on

Harjoitustehtäviä 3. Olkoot ja sekä . Piirrä vektorit ja

Harjoitustehtäviä - syventävä 4. Olkoot A = (-1, -2) ja B = (3, 1). Määritä piste C, kun vektorit ja ovat a) samat b) toistensa vastavektorit Ratkaisu taululle! Samat = saman suuntaiset ja yhtä pitkät. C = (7,4) Vastavektorissa erisuuntaiset C = (-1,-2)

Vektorien laskutoimitukset YHTEENLASKU Olkoot vektorin edustaja. Valitsemme vektorille pisteestä B alkavan edustajan . Tällöin määrää vektorien ja summan .

YHTEENLASKU - jatkoa Summaa sanotaan vektorien ja resultantiksi sekä vektoreita ja summan komponenteiksi Summan määritelmän mukaan vektoreiden ja summa on vektori

Yhteenlaskun ominaisuuksia NEUTRAALIALKIO Nollavektori on vektorisumman neutraalialkio ja kaikilla vektoreilla .

Vektorin ja vastavektorin summa Vektorin ja vastavektorin summa on nollavektori

Vaihdantalaki A Vaihdantalaki: Olkoon . Valitsemme vektorille kaksi edustajaa, alkaa pisteestä A ja pisteestä B. Tällöin . A

Liitäntälaki Liitäntälaki: Olkoot , ja vektorien edustajat tässä järjestyksessä Tällöin on sekä joten Koska vektorien summa on ryhmittelystä riippumaton, voimme merkitä summan ilman sulkeita

Liitäntälaki Reitti on sama kulkipa sitten kumpaa reittiä tahansa

Esimerkkejä Kolmion ABC sivut määräävät kuvan mukaisesti vektorit , ja . Osoita, että Ratk. Koska , niin eli

Esimerkkejä Olkoon ja . Laske vektorin pituus, kun a) b) c) (kohtisuora)

Vektorien vähennyslasku Lukujen a ja b erotus on summa a + (– b) Vektoreilla kyseessä on siten vastavektorin lisääminen

Esimerkki Tetraedrin OABC särmät määräävät vektorit , ja . Esitä vektorien , ja avulla vektorit a) b) c) d) O C B A

Luvun ja vektorin tulo Reaalilukujen 3 ja a tulo 3a tarkoittaa summaa a + a + a Vastaavasti määrittelemme summan luvun 3 ja vektorin tuloksi Täten ja kun

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa Reaalilukujen -1 ja a tulo on luvun a vastaluku -a Vastaavalla tavalla määrittelemme luvun -1 ja vektorin tulon vektorin vastavektoriksi

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa Yhteenveto: Luvun r, r  0, ja vektorin tulo on vektori, jonka Pituus on Suunta

Luvun ja vektorin tulo - jatkoa Luvun ja vektorin tulolla on voimassa 1) liitäntälaki: 2) osittelulaki:

Yksikkövektori Vektorin kanssa samansuuntainen yksikkövektori saadaan jakamalla vektori pituudellaan:

Yksikkövektori - esimerkki Olkoon ja . Esitä vektorit ja vektorin avulla, kun PA = 3 ja PB = 5. Vektorin suuntainen yksikkövektori on ja sille vastakkaissuuntainen yksikkövektori , joten ja A P B 3 5

Vektorin jakaminen komponentteihin Jos tiedetään komponenttien suunnat, voidaan resultantti (= summavektori) jakaa kahteen komponenttiin suunnikaskuvion avulla

Esimerkki Kelkan vedossa köysi muodostaa 30˚ kulman maan pinnan kanssa. Voima F = 600 N. Komponentti 1 aiheuttaa kelkan liikkeen ja komponentti 2 ”nostaa” kelkkaa pienentäen kitkaa. 30˚

Jatkoa… Komponentti F1 suuruus voidaan laskea:

Esimerkki Kaltevan tason kuorma G jakaantuu kahteen komponenttiin, joista toinen F1 on tason suuntainen ja toinen F2 kohtisuoraan tasoa vastaan. F1 F2 G

Jatkoa… Tason jyrkkyyden lisääminen aiheuttaa sen, että liikkeen suuntainen komponentti kasvaa ja tasoa vastaan painava voima vähenee. Hiihtäjä huomaa tämän alamäessä, kun vauhti kasvaa ja kitkavoima pienenee. F2 F1 G

Vektorit koordinaatistossa Koordinaatistossa vektori ilmoitetaan yksikkövektoreiden ja avulla on x-akselin suuntainen on y-akselin suuntainen Yksikkövektorin pituus on yksi yksikkö

Esimerkki

Esimerkki Vektoria sanotaan paikkavektoriksi silloin, kun se alkaa origosta Esim. yllä vektori , jonka komponenttien kertoimet osoittavat A:n koordinaatit (i = x-koordinaatti ja j = y-koordinaatti) eli A = (2,4) A

Paikkavektorin pituus Pisteen (x,y) paikkavektorin pituus on Kaikki vektorit voidaan esittää koordinaatistossa ja niiden pituus lasketaan yo. kaavalla

Esimerkki Pisteen (-3,4) paikkavektori on -3i + 4j ja sen pituus on

Esimerkki Laske koordinaatistossa olevat vektorit yhteen Eli summavektori on 0i -3j = -3j

Lautapeli Kuvan pelissä kaksi pelaajaa siirtää vuorotellen samaa pelinappulaa kohti maalia vektoreilla , ja merkityin siirroin. Se voittaa, joka vuorollaan siirtää pelinappulan maaliin. Se häviää, joka siirtää b suuntaisesti TAI aloittaa, mutta jos vastustaja siirtää b-suuntaisen, niin silloin aloittaja voittaa.  lähtö maali

Yhdensuuntaiset vektorit Yhdensuuntaisuusehto: ”Jos vektori kerrotaan luvulla, niin tulokseksi saatu vektori on yhdensuuntainen alkuperäisen vektorin kanssa” Sama käänteisesti: ”Jos kaksi vektoria ovat yhdensuuntaiset, niin toinen niistä saadaan toisesta luvulla kertomalla”

Esimerkki Olkoon , ja . Tällöin on , joten ja edelleen ja . 5 7